lunes, 28 de abril de 2014

Una ruleta paradójica


Imaginemos una ruleta "continua" capaz de detenerse con precisión absoluta en cualquiera de los infinitos ángulos comprendidos entre 0° y 360°.
Imaginemos también que mientras la ruleta gira al azar el jugador A apuesta $10 a que la flecha se detendrá en un ángulo comprendido entre 0° y 120°. ¿Cuál sería un pago justo para la apuesta de A

Por pago justo entendemos un pago tal que si A repite su apuesta una y otra vez entonces, a la larga, ganará tanto dinero como el que perderá. Ahora bien, dado que el arco de la circunferencia comprendido entre 0° y 120° representa la tercera parte de la circunferencia total, es decir, dado que la medida de ese arco es un tercio de la medida de la circunferencia, entonces la probabilidad de que A gane es 1/3. En otras palabras, A ganará más o menos una de cada tres apuestas y entonces, para que el juego sea justo, A debería recibir $20 cada vez que gana.

Pero supongamos ahora que un jugador B apuesta $10 a que la flecha quedará apuntando hacia uno de los puntos del conjunto V definido en la entrada anterior, ¿cuál sería en este caso un pago justo? Sucede que V es no medible, no tiene medida, por lo que la probabilidad de que la flecha quede apuntando hacia un punto de V no existe. En consecuencia, no hay pago justo para la apuesta de B. No importa cuánto decida la banca que debe pagar por esa apuesta, alguno de los dos (B o la banca), a la larga, perderá dinero, no hay modo en que queden "iguales".

Esta entrada participa en la Edición 5.3: Felix Klein del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Juegos Topológicos.

domingo, 27 de abril de 2014

Comentario a "...la falacia del jugador"

Esta entrada es un comentario a los comentarios escritos en "Una respuesta a la falacia del jugador".

La falacia del jugador es la creencia de que, por ejemplo, si sale negro varias veces seguidas en la ruleta entonces la probabilidad de rojo va aumentando cada vez para "compensar" (ya que, a la larga, deberá haber la misma cantidad de rojos que de negros). Esta idea es falsa (de ahí que se lo llame "falacia"), ahora bien la pregunta es: ¿cómo demostrarle a alguien que sostiene esa creencia que lo que cree y dice es falso?

Hay dos opciones, una es la que se propone en los comentarios a aquella entrada, que consiste simplemente en decirle al otro que su creencia es falsa e indicarle cuál es la idea correcta. En resumen, se le dice: "tú estás equivocado porque los libros dicen que la verdad es otra". Un argumento de autoridad, digamos.

Pero hay otra alternativa, que es la que yo propuse en la entrada (cuya intención parece que no fue comprendida por los comentaristas), y que consiste en decir: "Tu creencia falsa porque, de hecho, es autocontradictoria". La intención en este caso no es decir "mi lógica es superior a la tuya", sino penetrar en la lógica del otro, comprenderla y poner a la vista sus errores internos. En resumen, lo que la entrada muestra es que si se sostiene la creencia de que "si sale negro varias veces seguidas en la ruleta entonces la probabilidad de rojo va aumentando porque deben compensarse", a partir de esa misma premisa también se concluye que la probabilidad de rojo no cambia, es decir, se deduce que esa probabilidad al mismo tiempo sigue siendo siempre la misma; en conclusión, la premisa es autocontradictoria y por ende, falsa.

sábado, 26 de abril de 2014

La duplicación de la circunferencia

El famoso teorema de Banach-Tarski dice que es posible cortar una esfera en una cantidad finita de partes, las cuales, convenientemente reordenadas (y sin que sean deformadas de ninguna manera), permiten armar dos esferas iguales a la original.

Mi intención en esta entrada es mostrar un resultado parecido al teorema de Banach-Tarski; un resultado que, aunque menos espectacular, es tan paradójico como él. En esta entrada voy a mostrar cómo se puede cortar una circunferencia en una cantidad infinita numerable de partes que, convenientemente reordenadas, permiten armar dos circunferencias iguales a la original (de hecho, podría armarse una cantidad infinita numerable de circunferencias iguales a la original).

Obviamente, el aspecto paradójico del teorema de Banach-Tarski consiste en que nuestra intuición nos dice que si cortamos un cuerpo en una cantidad finita de partes y las reordenamos entonces el volumen total debería conservarse. El aspecto paradójico del resultado que aquí mostraré es similar ya que, quizás no nuestra intuición, pero sí los axiomas de la medida nos dicen que la longitud debería igualmente conservarse si una curva es cortada en una cantidad numerable de partes y estas son reordenadas.

Sea C entonces una circunferencia; vamos a comenzar definiendo en ella una relación de equivalencia. Para ello, para cada número racional q con $0\leq q < 1$ consideramos el movimiento que consiste en girar todos los puntos de C un ángulo de q.360° en sentido contrario al de las agujas del reloj. A todos los movimientos así definidos los llamaremos giros válidos.
Definimos entonces la siguiente relación: dos puntos P y Q de C están relacionados si y sólo si es posible llegar de P a Q mediante un giro válido. No es difícil probar que se trata, en efecto, de una relación de equivalencia.

Llamemos V a un sistema de representantes de la relación, es decir, V contiene exactamente un punto de cada una de las clases de equivalencia determinadas por la relación definida más arriba. Una consecuencia de esta definición es que cada punto P de la circunferencia C existe un único punto Q de V tal que se puede llegar de Q a P mediante un giro válido; y ese giro también es único.

A continuación, para cada número racional q con $0\leq q < 1$ llamamos Vq al conjunto que se obtiene aplicando simultáneamente a todos los puntos de V el giro válido de q.360°. Por ejemplo V1/3 se obtiene girando los puntos de V 120° en sentido antihorario (nótese que V0 = V). De lo dicho más arriba se deduce, por un lado, que C es la unión de todos los Vq y, por el otro, que no hay puntos que pertenezcan simultáneamente a dos Vq diferentes.

Dado que el conjunto de todos los números racionales es numerable, entonces la circunferencia C ha quedado partida en una cantidad igualmente numerable de partes Vq disjuntas dos a dos. Tenemos así definidas, entonces, cuáles son las partes en que la circunferencia es cortada, veamos ahora cómo reordenarlas para completar la duplicación.

Para comenzar con la duplicación, notemos en primer lugar que dos cualesquiera de las partes en que hemos cortado a C pueden obtenerse, una de la otra, mediante un giro válido. Por ejemplo, V1/2 resulta de girar 60° a V1/3. Separamos entonces las partes que hemos definido y, aprovechando el hecho de que los racionales son numerables, las numeramos 1, 2, 3, 4,… (la imagen se sale de marco porque sigue infinitamente hacia la derecha).
A continuación separamos las partes, colocando por un lado las partes “pares” y por el otro las “impares”.
Finalmente aplicamos, tanto en la fila superior como en la inferior de la imagen, un “corrimiento” al estilo hotel de Hilbert. Con más precisión, en la fila superior de la imagen giramos la parte número 3 de modo que ocupe el lugar de la parte 2 (es decir, rotamos V1/3 para transformarla en V1/2), al mismo tiempo rotamos la parte 5 para que ocupe el lugar de la 3, y así sucesivamente hasta “llenar todos los espacios en blanco”. El resultado final es una copia de la circunferencia C. Luego repetimos el mismo proceso en la fila inferior; giramos la parte número 2 para que ocupe el lugar de la 1, la 4 para que ocupe el lugar de la 2, y así sucesivamente. Logramos así construir una segunda copia de la circunferencia C, la cual, en consecuencia hemos duplicado.

No es difícil modificar la idea (véase aquí) de tal modo que se pueda obtener una cantidad infinita numerable de copias de la circunferencia C. Y con mínimas variantes puede aplicarse también para lograr la multiplicación de un círculo al que le falte su centro (para esto último, a cada punto de conjunto V le adjuntamos el radio que lo une con el centro del círculo, aunque sin incluir al centro en sí mismo).

De modo que, si así lo desean, pueden multiplicar hasta el infinito, sin costo de material, toda su colección de discos compactos… aunque, claro, tal vez la música registrada en ellos quede un poco alterada.

Esta entrada participa en la Edición 5.3: Felix Klein del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Juegos Topológicos.

martes, 8 de abril de 2014

Las tortugas carey al borde de la extinción en la costa pacífica de América Central

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Creative Commons Wikipedia   Tortuga carey en Saba (Antillas Neerlandesas).


De repente aparecieron nidos en El Salvador, Nicaragua y en Costa Rica. Esta especie marina se creía casi extinta y ahora debe sobrevivir a la pesca industrial de arrastre.
Están escondidas entre las rocas y han llegado a sentirse cómodas en inusuales hábitats lodosos. Por ahí andan casi refugiadas las atractivas tortugas carey que hasta hace diez años los biólogos marinos consideraban prácticamente extintas, después de décadas y décadas de explotación humana para ingerir los huevos con presuntas propiedades afrodisíacas o para comerciar el caparazón leonado que puede acabar en forma de joyas femeninas o en extensiones de espuelas para las peleas de gallos.
Estas son las tortugas carey que han logrado dibujar una sonrisa en las comunidades de biólogos marinos y de ecologistas que trabajan en el Trópico americano. De repente la población de estos animales dejó de ser considerada “remanente” y ahora es una especie promisoria, aunque amenazada por la pesca indiscriminada y sus métodos de barrido.
“La gente pensaba que habían desaparecido, pero ahora hay esperanza”, expuso este jueves el biólogo Alexander Gaos, un especialista estadounidense que aún recuerda cómo sus colegas le vieron cara de loco cuando allá por 2007 le oyeron decir que quería investigar poblaciones de tortugas carey. Era poco menos que escribir sobre dinosaurios, pero Gaos comenzaba así una búsqueda que fue dando resultados incipientes en la costa pacífica desde México hasta Ecuador.
Ahora dice optimista que hay al menos 500 hembras anidadoras en los rincones del Pacífico de la región centroamericana, además de poblaciones aún menores en el Caribe. La carey está en la categoría mundial de “peligro crítico de extinción”, pero eso es una buena noticia para un especie que se le creía derrotada hace solo una década. Este fue el mensaje de Gaos al exponer sus conclusiones de años en la Universidad Nacional, con la intención de alertar sobre las amenazas para el crecimiento de esta tortuga poco viajera e inquilina frecuente de arrecifes en aguas poco profundas.
Gaos aún recuerda una reunión con colegas suyos y pescadores pequeños en El Salvador en 2004. Uno de estos tomó entonces la palabra y con algo de vergüenza dijo que en su playa solo había registrado 120 anidamientos en un año. ¡120! La cifra era la mejor noticia para los biólogos que desde entonces ubicaron la bahía salvadoreña Jaquilisco como uno de los puntos mayores de anidación de la carey, junto con el estero Padre Ramos, en Nicaragua.
Los Cóbanos, en la costa de El Salvador, y Aserradero, en la nicaragüense tienen un nivel medio de anidación, nivel al que pronto podría ingresar isla Pelada, en el pacífico norte de Costa Rica, país que tiene vigente una ley de prohibición del comercio de huevos de estas tortugas y del hermosa caparazón ámbar con vetas oscuras que aún se ve adornando algunos locales playeros o recortado en pequeñas piezas para joyas o monturas de anteojos.
En la frontera con Panamá, al sur, también se consiguen fácil los juegos de picos de carey curvados que se colocan a los gallos como extensión de sus espuelas para las peleas en los pueblos, mitad negocio y mitad entretenimiento. Hasta en los duty free de los aeropuertos centroamericanos se pueden comprar piezas de carey.
“Es una tortuga bella, hablando en términos románticos, pero en lo biológico sería una gran noticia la recuperación de esta especie porque se alimenta de las esponjas marinas que compiten con la formación de arrecifes. Es vital para la formación de los corales, que es el hábitat de muchas otras especies. Una buena noticia sobre esta tortuga es una buena noticia sobre la vida marina en toda nuestra costa”, explicó el biólogo Randall Arauz, de la fundación Programa de Restauración de Tortugas Marinas (Pretoma).
Ahora, con  el albor de la tortuga carey, los biólogos y ambientalistas intentan aliarse con las comunidades costeras. Intentan convencerles de que matar una tortuga para vender sus huevos o comerciar su concha es menos rentable (y sostenible) que mantenerle cercana a su territorio y desarrollar el turismo. Esto ya es la marca de algunas zonas de Costa Rica como Ostional (Pacífico) o Tortuguero (Caribe), donde los turistas pagan hasta 100 dólares por untour de observación de desove.
Fuente Canal Azul 24

Nota 
La tortuga carey (Eretmochelys imbricata) es una especie de tortuga marina de la familia de los quelónidos, que se halla en peligro crítico de extinción. Es la única especie del género Eretmochelys. Existen dos subespecies, Eretmochelys imbricata imbricata que se puede encontrar en el océano Atlántico y Eretmochelys imbricata bissa, localizada en la regiónindo-pacífica.
En peligro crítico (CR)