"Si un número entero es negativo entonces ese número es positivo."
"Si 3 es negativo entonces 3 es positivo."
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¿Verdadero o falso?
"Si un número entero es negativo entonces ese número es positivo."
"Si 3 es negativo entonces 3 es positivo."
¿Sí o no?
"Si todo triángulo tiene tres lados entonces esta afirmación (la implicación completa) es falsa."
(*) Agregado para evitar ambigüedades.
Dos de Mark Colyvan
1) La afirmación "Yo jugué cierto número de partidos con Messi en el Barcelona" es falsa.
Pero la afirmación "Yo jugué cero partidos con Messi en el Barcelona" es verdadera.
Si cero fuera un número, la verdad de la segunda afirmación implicaría la verdad de la primera, pero la primera es falsa. Luego, el cero no es un número.
(Parafraseado de An Introduction to the Philosophy of Mathematics, de Mark Colyvan, quien asegura que muchas de las discusiones que hubo en su momento acerca de si el cero era, o no, un número giraban en torno a argumentos similares al expuesto.)
2) "Leopold Kronecker dijo una vez: 'Dios creó los enteros, todo lo demás es obra del hombre'. Pero por mi parte me inclino a creer que si Dios existiera y si él o ella estuviera en el negocio de crear cosas, habría creado a i y a los demás números complejos a las 7 de la mañana del primer día."
(Citado del mismo libro.)
Pero la afirmación "Yo jugué cero partidos con Messi en el Barcelona" es verdadera.
Si cero fuera un número, la verdad de la segunda afirmación implicaría la verdad de la primera, pero la primera es falsa. Luego, el cero no es un número.
(Parafraseado de An Introduction to the Philosophy of Mathematics, de Mark Colyvan, quien asegura que muchas de las discusiones que hubo en su momento acerca de si el cero era, o no, un número giraban en torno a argumentos similares al expuesto.)
2) "Leopold Kronecker dijo una vez: 'Dios creó los enteros, todo lo demás es obra del hombre'. Pero por mi parte me inclino a creer que si Dios existiera y si él o ella estuviera en el negocio de crear cosas, habría creado a i y a los demás números complejos a las 7 de la mañana del primer día."
(Citado del mismo libro.)
La paradoja "heterológica" revistada.
Por ejemplo, "monovocálica" (dícese de la palabra en la que todas sus vocales son iguales, tal como "rojo") es heterológica, ya que "monovocálica" no es monovocálica, mientras que "hexasilábica" (dícese de la palabra que tiene seis sílabas) es autológica, ya que "hexasilábica" es hexasilábica. (Si alguien desea objetar que esas palabras no figuran en el DRAE diré que en este blog nos permitimos el uso de palabras que no figuran en el DRAE.)
La pregunta es ¿la palabra "heterológica" es heterológica?
(Otras formas de plantear la pregunta son: ¿la palabra que designa a las palabras que no se refieren a sí mismas se refiere a sí misma? ¿la palabra que afeita a todas las palabras que no se afeitan a sí mismas se afeita a sí misma? ¿el barbero que habla de todos los hombres que no hablan de sí mismos habla de sí mismo?)
Tanto si suponemos que "heterológica" es heterológica como si suponemos que "heterológica" es autológica, en ambos casos llegamos a una contradicción; por lo tanto, "heterológica" no puede cumplir ninguna de las dos propiedades. Pero a la vez, como la propiedad de ser heterológica es la negación de la de ser autológica, la palabra "heterológica" debe necesariamente cumplir alguna de las dos... ¡Paradoja!
¿Cómo se resuelve esta paradoja? Una solución posible sería decir que "autológico" y "heterológico" son términos ambiguos. Por ejemplo, ¿"insultante" es una palabra insultante? La respuesta depende de cada persona, incluso (si se la dice oralmente) hasta puede depender del tono en que se la diga; de modo que "insultante" puede ser autológica o heterológica dependiendo de las circunstancias. Por lo tanto, diría este argumento, "autológico" y "heterológico" son términos mal definidos y en consecuencia la paradoja se diluye completamente. (Otra ambigüedad podría provenir de palabras como "corta" o "larga", pero estas ambigüedades son fácilmente subsanables estableciendo criterios precisos para determinar si una palabra es larga o corta; por ejemplo, podríamos decir -arbitrariamente-que una palabra de cinco letras o menos es corta y que una de seis o más es larga, en cuyo caso "corta" sería autológica y "larga", heterológica.)
Pero nunca me gustaron las soluciones del estilo "su pregunta está mal formulada y eso termina la cuestión". Si la pregunta está mal formulada o, como en este caso, las palabras están mal definidas, tratemos de mejorar la definición y veamos qué sucede.
La ambigüedad puede evitarse restrinjámonos solamente a propiedades "sintácticas".
Una propiedad (siempre hablamos de propiedades referidas a adjetivos) es sintáctica si es posible verificar si una palabra cumple, o no cumple, esa propiedad inspeccionando solamente las letras que la forman y sin tomar en cuenta el significado de la palabra. En caso contrario, la propiedad es semántica. Por ejemplo, "monovocálica" y "hexasilábica" son propiedades sintácticas, mientras que "insultante" es semántica.
Las idea es que las propiedades sintácticas no son ambiguas, siempre es posible verificar objetivamente si una palabra cumple, o no cumple, una propiedad de ese tipo.
Redefinamos entonces las palabras "autológico" y "heterológico". Un adjetivo es autológico si expresa una propiedad sintáctica que él mismo cumple y es heterológico si expresa una propiedad sintáctica que él mismo no cumple. De este modo, por ejemplo, "monovocálica" y "hexasilábica" siguen siendo heterológica y autológica respectivamente, pero "insultante" ya no es ninguna de las dos cosas.
Notemos que, aunque "heterológica" y "autológica" ya no son una la negación de la otra, de todos modos sigue siendo cierto que un adjetivo no puede cumplir la dos propiedades a la vez.
Supongamos ahora que ser "heterológico" es una propiedad sintáctica y preguntémonos de nuevo ¿la palabra "heterológica" es heterológica, o es autológica? Como antes, tanto en un caso como en el otro se llega a una contradicción, es decir, "heterológica" no puede ser autológica ni heterológica; pero ahora esto ya no es una contradicción sino que nos lleva a la conclusión es que "heterológico" no es una propiedad sintáctica.
La conclusión es que no hay manera de verificar sintácticamente si un adjetivo se refiere a una propiedad que es sintáctica o semántica. Es decir, "Ser una propiedad sintáctica" no es una propiedad sintáctica. De modo que, aunque restringirnos a propiedades sintácticas parece evitar las ambigüedades, esto no es del todo cierto, porque la ambigüedad puede surgir al querer determinar si una propiedad es realmente sintáctica, o si es semántica.
Una paradoja probabilística
Se arroja al azar un dado equilibrado de 6 caras. ¿Cuál es la probabilidad de que "si sale un 7 entonces sale un número par"?
Se trata de una probabilidad condicional que se calcula así:
Pero por otra parte, la afirmación "si sale un 7 entonces sale un número par" es verdadera porque es una implicación con antecedente falso; como es segura, porque es una verdad lógica, entonces su probabilidad es 1 (es como preguntarse cuál es la probabilidad de que 2 + 2 sea 4).
Por lo tanto:
Se trata de una probabilidad condicional que se calcula así:
Por lo tanto:
Una pequeña paradoja
Visto de otro modo, 0/100 es menos que 0/10, al menos desde un punto de vista psicológico.
1 + 1 = 1
Las desventajas de la perfección.
En los problemas de veraces y mentirosos a veces aparecen ciertos personajes a los que se llama lógicos perfectos. Un lógico perfecto es un ser que es capaz de obtener de manera infalible y casi instantánea todas las conclusiones que sea posible extraer de una serie de premisas.
Puede objetarse que es muy difícil encontrar a un ser con estas características; más aún, tal vez hasta se pueda demostrar lógicamente que un ser así no puede existir ni siquiera en teoría. Pero en los problemas de veraces y mentirosos (que, después de todo, son problemas recreativos y no teoremas matemáticos) nadie pretende que los lógicos perfectos existan realmente, sino que la expresión "lógico perfecto" es simplemente un recurso lingüístico cómodo que evita tener que dar un sinfín de explicaciones.
Por ejemplo, pensemos en este problema que, estrictamente hablando, no es de veraces y mentirosos pero cae dentro de la misma familia (tomado de aquí):
Tres personas entran en un bar y el mozo les pregunta si todos van a tomar café.
El primero responde: No sé.
El segundo responde: No sé.
El tercero responde: Sí.
La pregunta es ¿cómo se explican esas respuestas?
Así formulada, la pregunta tiene miles de respuestas posibles, como por ejemplo que los dos primeros son indecisos y el tercero es el líder del grupo, y tantas otras que es fácil imaginar. Ahora bien, si aclaramos que las tres personas responden verazmente en base a la información que poseen (o no poseen) y en base a las conclusiones que de esa información se puede extraer y que no fallan al obtener esas conclusiones, en dos palabras, si decimos que los tres son lógicos perfectos, entonces la respuesta es sólo una... que les dejo a ustedes para encontrar.
Ahora bien, dejemos volar la imaginación y supongamos que que sí existen los lógicos perfectos, y que por algún procedimiento semimágico fuera posible convertirse en uno. Supongamos además que estamos a punto de enfrentar una situación en la que va a ser indispensable extraer rápidamente conclusiones lógicas a partir de ciertas premisas; más aún, supongamos que nuestra libertad va a depender de que seamos capaces de razonar rápida y correctamente. Bajo estas circunstancias ¿no aceptaríamos convertirnos en lógicos perfectos? ¿No lo sentiríamos como una garantía de triunfo? Pues bien, les voy a contar una historia en la que ser un lógico perfecto sería, quizás, una desventaja.
En esta historia, en los calabozos del palacio de un un rey, hay tres prisioneros a los que llamaremos A, B y C. Como es su cumpleaños, el rey ha decidido que uno de ellos tenga la posibilidad de ser liberado. Para eso organiza este juego:
En una caja hay 7 estampillas, cuatro rojas y tres verdes. A los prisioneros se les vendarán los ojos, cada uno se le pegarán en la frente dos estampillas tomadas al azar de la caja y luego se les quitarán las vendas. De este modo, cada uno podrá ver las estampillas que tienen los demás, pero no verán las propias ni tampoco sabrán cuál es la estampilla que quedó en la caja, aunque sí sabrán cuántas estampillas de cada color hay en total.
En orden (el orden fue sorteado de antemano y quedó así: A, B, C) cada prisionero intentará deducir cuáles son las estampillas que tiene en la frente. Si arriesga y acierta, es liberado y el juego termina (los otros dos vuelven a prisión). Si arriesga y pierde, ya no tiene chance de arriesgar otra vez y habrá perdido (vuelve a la prisión). Si no dice nada y pasa, sigue en juego y puede volver arriesgar después si es que la ronda vuelve a él y nadie gana antes.
Supongamos que a A le pegan una estampilla verde y una roja, a B dos verdes y a C dos rojas; y supongamos además que los tres son lógicos perfectos. ¿Qué sucede entonces?
A puede ver dos estampillas verdes y dos rojas; sabe que faltan dos rojas y una verde, pero no tiene forma de deducir si en su frente tiene dos rojas o una roja y una verde. Por lo tanto pasa sin arriesgar.
B puede ver tres rojas y una verde; sabe que faltan dos verdes y una roja, pero no tiene forma de deducir si tiene dos verdes o una verde y una roja. Por lo tanto pasa sin arriesgar.
C tiene a la vista las tres estampillas verdes, de modo que deduce que todas las que quedan son rojas. Dice en voz alta que tiene dos rojas, gana y es liberado.
Al prisionero A no le convino ser lógico perfecto. "Bueno", pensarán ustedes, "¿qué otra cosa podría haber hecho, después de todo?". Pero si en lugar de ser un lógico perfecto, A hubiera sido simplemente racional entonces podría haber pensado así:
"O tengo dos estampillas rojas, o tengo una roja y una verde. Si tuviera dos rojas, B tendría a la vista las cuatro estampillas rojas, deduciría entonces que él tiene dos verdes y ganaría. Si yo tuviera una roja y una verde entonces C tendría a la vista las tres verdes, deduciría que él tiene dos rojas y ganaría. En cualquier caso, si no arriesgo estoy perdido. Ahora bien, hay tres estampillas de las que no sé dónde están, dos son rojas y una es verde; por lo tanto hay una probabilidad de 2/3 de que la estampilla de la caja sea roja y 1/3 de que sea verde. Por lo tanto, la probabilidad de yo tenga una verde y una roja es de 2/3 y solamente 1/3 de que tenga dos rojas." En base a este cálculo, A arriesgaría que tiene una verde y una roja... y ganaría.
El riesgo calculado le ha ganado al razonamiento perfecto.
La paradoja del filósofo enfermo
Un filósofo sufre trastornos estomacales que le provocan un malestar general, dolores musculares, jaqueca y otros padecimientos físicos, todos muy molestos. Con mucha dificultad logra incorporarse en la cama y escribe:
"Demostración de la inexistencia del alma:
"Si tuviéramos un alma inmaterial, capaz de sobrevivir a la muerte del cuerpo, y esa alma fuera el verdadero asiento de nuestro yo, de nuestra esencia, de nuestro intelecto, entonces el alma debería ser inmune a los males del cuerpo, pues los males del cuerpo están causados por agentes físicos incapaces de afectar un ente inmaterial. Por lo tanto, los males del cuerpo no deberían afectar nuestra capacidad de razonar. Pero hete aquí que yo estoy postrado por la ingestión excesiva de malos alimentos y esa causa meramente física disminuye hasta anularla mi capacidad de pensar; mi mente está nublada y divaga incapaz de centrarse en cualquier idea compleja. Dado que mi mente, mi yo, se ve afectado por causas físicas, ese yo no puede residir en un ser inmaterial, luego el alma no existe y nuestra inteligencia es el fruto de la acción física del cerebro.
"Refutación: A pesar de mi malestar físico he sido capaz de concebir el argumento anterior, luego, mi mente funciona correctamente a pesar de mis males físicos. La mente es, por tanto, inmaterial.
"Refutación de la refutación: Quizás mi argumento no es más que un galimatías sin sentido y me parece correcto solamente porque mi mente no funciona adecuadamente a causa de mis males físicos.
"Paradoja: Si mi argumento es correcto, entonces se refuta a sí mismo, porque habré podido escribir un argumento correcto a pesar de estar enfermo. Si mi razonamiento es falaz y no me he dado cuenta entonces el argumento es correcto, mi mente está nublada a causa de los males de mi material estómago.
"Mi argumento es correcto si y sólo si es falaz."
"Demostración de la inexistencia del alma:
"Si tuviéramos un alma inmaterial, capaz de sobrevivir a la muerte del cuerpo, y esa alma fuera el verdadero asiento de nuestro yo, de nuestra esencia, de nuestro intelecto, entonces el alma debería ser inmune a los males del cuerpo, pues los males del cuerpo están causados por agentes físicos incapaces de afectar un ente inmaterial. Por lo tanto, los males del cuerpo no deberían afectar nuestra capacidad de razonar. Pero hete aquí que yo estoy postrado por la ingestión excesiva de malos alimentos y esa causa meramente física disminuye hasta anularla mi capacidad de pensar; mi mente está nublada y divaga incapaz de centrarse en cualquier idea compleja. Dado que mi mente, mi yo, se ve afectado por causas físicas, ese yo no puede residir en un ser inmaterial, luego el alma no existe y nuestra inteligencia es el fruto de la acción física del cerebro.
"Refutación: A pesar de mi malestar físico he sido capaz de concebir el argumento anterior, luego, mi mente funciona correctamente a pesar de mis males físicos. La mente es, por tanto, inmaterial.
"Refutación de la refutación: Quizás mi argumento no es más que un galimatías sin sentido y me parece correcto solamente porque mi mente no funciona adecuadamente a causa de mis males físicos.
"Paradoja: Si mi argumento es correcto, entonces se refuta a sí mismo, porque habré podido escribir un argumento correcto a pesar de estar enfermo. Si mi razonamiento es falaz y no me he dado cuenta entonces el argumento es correcto, mi mente está nublada a causa de los males de mi material estómago.
"Mi argumento es correcto si y sólo si es falaz."
Reparto justo
Tres amigos, A, B y C, alquilan una casa por 30 días para pasar las vacaciones. El precio del alquiler por esos 30 días es de $3000. Sin embargo, por motivos imprevistos, C debe abandonar la casa cuando han pasado apenas 15 días. La noche previa a la partida de C los tres se reúnen para decidir el modo más justo de repartir el costo del alquiler.
B propone lo siguiente: C permanecerá en la casa la mitad del tiempo que los otros dos, mientras que A y B permanecerán ambos el mismo tiempo. Lo justo, entonces, es que A y B paguen lo mismo y que C pague la mitad que ellos. En resumen, A y B pagarán $1200 cada uno y C pagará $600.
Pero C no está de acuerdo. Según su punto de vista, los 30 días de alquiler han quedado divididos en dos partes iguales. En la primera parte el gasto debe dividirse entre los tres ($1500 / 3 = $500) y en la segunda parte solamente debe dividirse entre A y B ($1500 / 2 = $750). Según este punto de vista, C debe pagar $500 mientras que A y B deben pagar $1250.
¿Cuál es el más justo de los dos modos de repartir el gasto?
(Una versión anterior de esta misma entrada puede leerse en este enlace).
Paradoja (5)
El conjunto de todos los conjuntos no mencionados en esta entrada...¿existe?
El conjunto de todos los conjuntos mencionados en esta entrada...¿existe?
(¿Y qué significa "existir" en este caso?)
El conjunto de todos los conjuntos mencionados en esta entrada...¿existe?
(¿Y qué significa "existir" en este caso?)
Paradoja (4)
El conjunto de todos los conjuntos mencionados en esta entrada...¿existe? (¿Y qué significa "existir" en este caso?)
Paradoja (3)
El conjunto de todos los conjuntos no mencionados en esta entrada... ¿pertenece a sí mismo?
Paradoja (1)
El conjunto de todos los conjuntos mencionados en esta entrada... ¿pertenece a sí mismo?
La Paradoja del 21 de octubre de 2011
(Ésta es la trancripción de mi participación en el Segundo Encuentro para Celebrar el Ingenio de Martin Gardner y Jaime Poniachik.)Mi charla de hoy se titula "La Paradoja del 21 de octubre de 2011". Obviamente, voy a hablarles de una paradoja, pero antes, si me permiten, haré una pequeña introducción.
Una de las intenciones de este encuentro es recordar a Jaime Poniachik... En lo personal, con Jaime compartíamos el gusto, el disfrute por el personaje de Sherlock Holmes, el detective de ficción creado por Arthur Conan Doyle.
En una época, Jaime tenía, colgados en su casa, cuadritos con frases extraídas de los relatos de Holmes. Frases, por supuesto, todas ellas con alguna vuelta paradójica, ingeniosa o acertijera. Una de esas frases, que recuerdo bien, decía: "¡Bravo, esto se complica!".
Y ese "¡Bravo, esto se complica!" resume una buena parte del espíritu acertijero. Es una exclamación que dice: "Bravo, esto es un desafío", "Bravo, esto me obliga a esforzarme, a buscar, a intentar nuevos métodos". Pero también, el "¡Bravo, esto se complica!" se relaciona con el pensamiento del degustador de paradojas.
La palabra "paradoja" tiene diferentes acepciones (véase en este enlace), pero en cualquiera de ellas una paradoja se relaciona siempre con la idea de ruptura (de hecho, etimológicamente, la palabra "paradoja" viene del griego para doxa, que significa "fuera de la ortodoxia"). En una paradoja, la lógica, el lenguaje o la intuición son llevados a un punto extremo, un punto en el que ya no se sabe qué es verdad o es mentira.
Una paradoja suele ponernos frente a una situación en la que aquello que creíamos que era verdadero parece ser falso, o lo que creíamos falso parece ser verdadero. Pero, lejos de sentirse incómodo ante esta circunstancia, el degustador de paradojas disfruta de la situación y exclama "¡Bravo, esto se complica!".
Por ese motivo, en esta charla no sólo voy a contarles una paradoja, sino que también les plantearé un problema. La paradoja encerrará en sí misma un problema. Y de ese problema, no voy a darles la solución, sino solamente el planteo. Porque no busco que se vayan con la relajación del problema resuelto, sino con la tensión del problema sin resolver, con la sensación del "¡Bravo, esto se complica!".
Pero todavía antes de llegar a la paradoja, necesito hacer una pequeña aclaración técnica. Muchas veces, en Lógica, se estudian los llamados enunciados condicionales, es decir, oraciones que tienen la estructura "Si ... entonces ...". Por ejemplo, "Si Napoleón era inglés entonces la capital de Brasil es Montevideo". A la primera parte de la oración, "Napoleón era inglés", se la llama el antecedente de la afirmación. A la segunda parte, "La capital de Brasil es Montevideo", se llama el consecuente.
Ahora bien, un principio de la Lógica dice que si en una afirmación condicional el antecedente es falso entonces la afirmación completa es verdadera (independientemente de lo que suceda con el consecuente). Por ejemplo, dado que es falso que "Napoleón era inglés" entonces la afirmación completa "Si Napoleón era inglés entonces la capital de Brasil era Montevideo" es verdadera.
Vayamos, ahora sí, a la paradoja. La paradoja se titula "del 21 de octubre de 2011" por un doble motivo. Por una parte, porque la estoy contanado el día de hoy, 21 de octubre de 2011 [día del Encuentro], sino también porque incluye esa fecha en su enunciado.
La paradoja se basa en la oración: "Si el 21 de octubre de 2011 es sábado entonces el 22 de octubre de 2011 es lunes".
La pregunta es: ¿la oración es verdadera o falsa?
Veamos, el 21 de octubre de 2011 es viernes, no sábado. El antecedente de la afirmación es falso, por lo tanto, el principio de la Lógica que antes mencionaba nos dice que la afirmación es verdadera.
Pero, por otra parte, la lógica del calendario nos dice que si "el 21 de octubre de 2011 es sábado" entonces, el 22 de octubre de 2011 (el día siguiente) es domingo, no lunes. Por lo tanto, la lógica del calendario nos dice que la afirmación es falsa.
He ahí la pardoja: tenemos una afirmación que es, al mismo tiempo, verdadera y falsa. Y he ahí también el problema, que consiste en determinar cuál de las dos alternativas es la correcta: ¿la afirmación es verdadera... o es falsa?
Como dije antes, no voy a dar la solución del problema. Los invito solamente a que miren atentamente la afirmación "Si el 21 de octubre de 2011 es sábado entonces el 22 de octubre de 2011 es lunes" y que exclamen conmigo "¡Bravo, esto se complica!".
Muchas gracias.
[La imagen está tomada de http://juegosdeingenio.org/]
Paradoja
1. Existe un único conjunto vacío.
2. Si dos conjuntos tienen el mismo complemento, entonces son iguales.
3. Llamemos R al conjunto de los números reales. El complemento de R es el conjunto vacío.
4. Llamemos C al conjutno de los números complejos. El complemento de C es el conjunto vacío.
5. De las afirmaciones 3, 4 y 1 se deduce que R y C tienen el mismo complemento.
6. De las afirmaciones 5 y 2 se deduce que R = C.
Conclusión: Existe un número real que elevado al uadrado es -1.
2. Si dos conjuntos tienen el mismo complemento, entonces son iguales.
3. Llamemos R al conjunto de los números reales. El complemento de R es el conjunto vacío.
4. Llamemos C al conjutno de los números complejos. El complemento de C es el conjunto vacío.
5. De las afirmaciones 3, 4 y 1 se deduce que R y C tienen el mismo complemento.
6. De las afirmaciones 5 y 2 se deduce que R = C.
Conclusión: Existe un número real que elevado al uadrado es -1.
¿Raíz cúbica? (conclusión)
(Viene de 1, 2, 3, 4.)Sea f(x) una función definida en algún subconjunto de los números reales (cuyas imágenes son también números reales). Si a es un número real que está en el dominio de f(x) y a = b entonces b también está en el dominio de f(x) y además f(a) = f(b).
La afirmación anterior es virtualmente un axioma de uso universal en la Matemática. Empleo aquí la palabra "universal" en el sentido de que el axioma es implícitamente aplicado casi todo el tiempo en todas las ramas de la Matemática. Por citar solamente un ejemplo entre miles, cuando al resolver una ecuación decimos que 2x = 3 implica que x = $\frac{3}{2}$ estamos haciendo uso de ese axioma. En ese caso $f(x) = \frac{1}{2}x$, $a = 2x$, $b = 3$. [El axioma también vale aunque los conjuntos numéricos involucrados sean otros, diferentes de los reales. Hablé específicamente de los números reales para destacar el hecho de que el tema de esta entrada no involucra a los complejos.]
Consideremos ahora las siguientes afirmaciones, en las que $f(x) = (-1)^x$. Nótese que la función f(x) está definida, al menos, en el conjunto de los números enteros. La pregunta aquí es si ese dominio puede extenderse de manera consistente a al menos algunos números racionales no enteros.
Afirmación 1: $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$.
(Pregunta: ¿$\frac{1}{3}$ y $\frac{2}{6}$ son "iguales" o "equivalentes"? Respuesta: Son equivalentes porque son iguales. Es decir, se llaman fracciones equivalentes a aquellas que representan el mismo número real. $\frac{1}{3}$ y $\frac{2}{6}$ son solamente dos formas de escribir el número real que también puede ser representado como $\frac{3}{9}$ o como 0,333...)
Afirmación 2: Supongamos que $\frac{1}{3}$ está en el dominio de f(x).
Conclusión 3: De las afirmaciones 1 y 2, y del axioma enunciado más arriba, se deduce que $\frac{2}{6}$ está en el dominio de f(x) y que $f(\frac{1}{3}) = f(\frac{2}{6})$.
Conclusión 4: De 3 se deduciría que -1 = 1, ya que $f(\frac{1}{3})$ se define como -1 y $f(\frac{2}{6})$ se define como 1. (Véase aquí la deducción completa y véase aquí por qué no es válido hablar de un "doble signo" para la raíz sexta.)
La conclusión 4 es una contradicción. En consecuencia, una de las premisas que nos llevó a ella debe ser falsa. La única falsedad posible aparece en la afirmación 2. Por lo tanto es absurdo suponer que $\frac{1}{3}$ está en el dominio de f(x)...
...es decir que $(-1)^{\frac{1}{3}}$ no existe
(ni tampoco, por supuesto, $(-1)^{\frac{2}{6}}$ o $(-1)^{0,333\dots }.)
(ni tampoco, por supuesto, $(-1)^{\frac{2}{6}}$ o $(-1)^{0,333\dots }.)
Podríamos preguntar ¿acaso $(-1)^{\frac{1}{3}}$ no es la raíz cúbica de -1? (De ahí el título "¿Raíz cúbica?" que llevaban estas entradas). La respuesta es que no, no lo es. La igualdad $x^{\frac{1}{3}}$ = "raíz cúbica de x" solamente vale si x es mayor que 0. La igualdad es falsa si x es negativo, porque en ese caso $x^{\frac{1}{3}}$, simplemente, no existe. (Aunque sí podemos admitir la existencia de la raíz cúbica de -1 como notación especial.)
¿Raíz cúbica? (otra vez)
Digámoslo así... Consideremos estas tres afirmaciones:
a) $\sqrt[3]{8} = 2$
b) $\sqrt[6]{8^2} = \sqrt[3]{8}$
c) $\sqrt[6]{8^2}=\sqrt[8]{64}=\pm 2$
a) $\sqrt[3]{8} = 2$
b) $\sqrt[6]{8^2} = \sqrt[3]{8}$
c) $\sqrt[6]{8^2}=\sqrt[8]{64}=\pm 2$
Es obvio que las tres no pueden ser simultáneamente verdaderas. La pregunta es... ¿cuál es la afirmación falsa?
(Como en toda esta última serie de entradas, las igualdades se entienden en $\mathbb{R}$.)
(Como en toda esta última serie de entradas, las igualdades se entienden en $\mathbb{R}$.)
Finaliza aquí.
¿Raíz cúbica? (comentario lateral)
Supongamos que admitiéramos un "doble signo" para la raíz sexta. Entonces la raíz sexta de 64 sería 2 y también -2. Luego, 2 = -2. Absurdo.
Por lo tanto, raíz sexta de 64 es igual (solamente) a 2... o bien la Matemática es inconsistente.
Por lo tanto, raíz sexta de 64 es igual (solamente) a 2... o bien la Matemática es inconsistente.
Sigue aquí.