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¿Raíz cúbica? (conclusión)

(Viene de 1, 2, 3, 4.)

Sea f(x) una función definida en algún subconjunto de los números reales (cuyas imágenes son también números reales). Si a es un número real que está en el dominio de f(x) y a = b entonces b también está en el dominio de f(x) y además f(a) = f(b).

La afirmación anterior es virtualmente un axioma de uso universal en la Matemática. Empleo aquí la palabra "universal" en el sentido de que el axioma es implícitamente aplicado casi todo el tiempo en todas las ramas de la Matemática. Por citar solamente un ejemplo entre miles, cuando al resolver una ecuación decimos que 2x = 3 implica que x = $\frac{3}{2}$ estamos haciendo uso de ese axioma. En ese caso $f(x) = \frac{1}{2}x$, $a = 2x$, $b = 3$. [El axioma también vale aunque los conjuntos numéricos involucrados sean otros, diferentes de los reales. Hablé específicamente de los números reales para destacar el hecho de que el tema de esta entrada no involucra a los complejos.]

Consideremos ahora las siguientes afirmaciones, en las que $f(x) = (-1)^x$. Nótese que la función f(x) está definida, al menos, en el conjunto de los números enteros. La pregunta aquí es si ese dominio puede extenderse de manera consistente a al menos algunos números racionales no enteros.

Afirmación 1: $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$.

(Pregunta: ¿$\frac{1}{3}$ y $\frac{2}{6}$ son "iguales" o "equivalentes"? Respuesta: Son equivalentes porque son iguales. Es decir, se llaman fracciones equivalentes a aquellas que representan el mismo número real. $\frac{1}{3}$ y $\frac{2}{6}$ son solamente dos formas de escribir el número real que también puede ser representado como $\frac{3}{9}$ o como 0,333...)

Afirmación 2: Supongamos que $\frac{1}{3}$ está en el dominio de f(x).

Conclusión 3: De las afirmaciones 1 y 2, y del axioma enunciado más arriba, se deduce que $\frac{2}{6}$ está en el dominio de f(x) y que $f(\frac{1}{3}) = f(\frac{2}{6})$.

Conclusión 4: De 3 se deduciría que -1 = 1, ya que $f(\frac{1}{3})$ se define como -1 y $f(\frac{2}{6})$ se define como 1. (Véase aquí la deducción completa y véase aquí por qué no es válido hablar de un "doble signo" para la raíz sexta.)

La conclusión 4 es una contradicción. En consecuencia, una de las premisas que nos llevó a ella debe ser falsa. La única falsedad posible aparece en la afirmación 2. Por lo tanto es absurdo suponer que $\frac{1}{3}$ está en el dominio de f(x)...

...es decir que $(-1)^{\frac{1}{3}}$ no existe
(ni tampoco, por supuesto, $(-1)^{\frac{2}{6}}$ o $(-1)^{0,333\dots }.)

Podríamos preguntar ¿acaso $(-1)^{\frac{1}{3}}$ no es la raíz cúbica de -1? (De ahí el título "¿Raíz cúbica?" que llevaban estas entradas). La respuesta es que no, no lo es. La igualdad $x^{\frac{1}{3}}$ = "raíz cúbica de x" solamente vale si x es mayor que 0. La igualdad es falsa si x es negativo, porque en ese caso $x^{\frac{1}{3}}$, simplemente, no existe. (Aunque sí podemos admitir la existencia de la raíz cúbica de -1 como notación especial.)

¿Raíz cúbica? (otra vez)

Digámoslo así... Consideremos estas tres afirmaciones:

a) $\sqrt[3]{8} = 2$
b) $\sqrt[6]{8^2} = \sqrt[3]{8}$
c) $\sqrt[6]{8^2}=\sqrt[8]{64}=\pm 2$

Es obvio que las tres no pueden ser simultáneamente verdaderas. La pregunta es... ¿cuál es la afirmación falsa?

(Como en toda esta última serie de entradas, las igualdades se entienden en $\mathbb{R}$.)

Finaliza aquí.

¿Raíz cúbica? (Adenda)

¿Cuánto vale (-1)^0,333....? Considerando que 0,333... = 2/6 y que 0,333.... = 1/3.



(Adenda a la entrada anterior.)



Sigue aquí.

0/0

Decía en otra entrada que, hasta cierto punto, las definiciones matemáticas son arbitrarias y que en muchos casos están guiadas solamente por la elegancia y la coherencia de ciertas fórmulas.

A la luz de este concepto analicemos el caso de 0/0: ¿Por qué 0/0 no puede definirse? ¿Por qué es una "operación prohibida"? Tratemos de buscar argumentos racionales y concretos para justificar esta "prohibición". (Y, por favor, evitemos argumentos del tipo ¡Es falso! ¡No se puede dividir pot 0!, etc. Tratemos de ser racionales.)

¿Qué pasaría si definiéramos 0/0 como 1? Veamos por qué esta definición nos llevaría a una inconsistencia:

Sabemos que 3.0 = 2.0.

Si 0/0 fuera 1 tendríamos que: 3.(0/0) = 2.(0/0). Luego 3 = 2.

Es decir, si definiéramos 0/0 como 1 esto nos permitiría deducir que 3 = 2. Tendríamos así una inconsistencia, por lo tanto la definición 0/0 = 1 está justificadamente "prohibida".

El mismo razonamiento elimina que 0/0 sea igual a cualquier otro número distinto de 0.

La pregunta que les dejo es ésta: ¿qué argumento racional, concreto y carente de toda falacia puede darse para justificar que 0/0 no se puede definir como 0?

Una aproximación intuitiva a 0^0 = 1 (Tercera ¿y última? parte)

Procedamos a definir la operación de potenciación. Como en el caso del factorial, avanzaremos en pasos sucesivos: primero definiremos la potenciación para expoenetes enteros mayores o iguales que 1, luego para el exponente 0, etc.

Para empezar, a^n se define como a.a.a...a (n veces). La expresión "n veces" sólo tiene un sentido claro e indubitable si n es un entero mayor o igual que 1 y, por lo tanto, esta definición sólo se aplica a este tipo de exponente.

Imaginemos entonces que por ahora sólo sabemos calcular a^n cuando n es un entero mayor o igual que 1. Si n y m cumplen esa condición tenemos que:

1. a^n.a^m = a^(n + m)

2. (a^n)^m = a^(n.m)

3. a^n/a^m = a^(n - m)

Todas estas propiedades se puedebn demostrar fácilmente a partir de la definición dada más arriba.

Dado que, por ahora, sólo admitimos exponentes positivos, entonces en la última igualdad debe ser necesariamente n > m y además (no por la definición de la potenciación, sino por definición de la división) el número a debe ser distinto de 0.

Queremos ahora extender la definición al exponente 0. En ese sentido, es común dar la siguiente "justificación" (errónea) de que a^0 = 1. Esta falsa justificación diría que, por la propiedad 3, vale:

a^0 = a^(n - n) = a^n/a^n = 1

Pero la justificación es incorrecta y el error está en que, como dijimos antes, la propiedad 3 sólo vale si n > m, y en esta justificación se la está aplicando para n = m. Este error es clave y está en el corazón de muchas de las falsas explicaciones de por qué no se podría definir 0^0.

¿Cómo se puede justificar que a^0 = 1? La respuesta es que no se puede justificar. Para empezar, porque todavía no hemos definido a^0. Como dijimos para el caso del factorial hasta cierto punto las definiciones matemáticas son solamente convenciones arbitrarias. No hay forma de "medir" cuánto vale a^0. Podemos definirlo como querramos y nuestras únicas guías para hacerlo son la coherencia lógica, la conveniencia y la elegancia.

Ahora bien, al definir a^0 nos gustaría (por razones de simplicidad y elegancia) que, en la medida de lo posible, se conservaran las propiedades 1, 2 y 3 de más arriba. Y entonces, para que se conserve la propiedad 3 nos conviene definir a^0 como 1.

En uno de los comentarios a la entrada anterior de esta serie pregunté si primero era la propiedad o la definición. La respuesta es "depende". En este caso, primero viene la definición de a^n con n > 0, de la que se deducen las propiedades 1, 2 y 3, que a su vez nos guían la definición de a^0.

De manera similar (no me extenderé aquí con ello) las propiedades 1, 2 y 3 nos dicen cómo definir a^(-n) y a^(1/n). En particular, a^(1/n) se define como la raíz n-ésima de n porque queremos que para exponentes racionales siga valiendo la propiedad 2. Primero es la propiedad (que queremos que valga) y luego la definición (que hace que esa propiedad se cumpla).

El caso que nos interesa es 0^0. La propiedad 3, como dijimos antes, no vale para a = 0. Esto no quiere decir que 0^0 no puede definirse, sólo nos dice que la propiedad 3 no nos sirve de guía para su definición.

Dado que 0^n = 0 si n > 0 y a^0 = 1 si a es distinto de 0, parece haber un conflicto para definir 0^0 ¿es 0 o es 1?. Pero esto tampoco es un problema. También teníamos razonamientos que nos permitían "justificar" que 0! = 1 y otros que permitían "justificar" que 0! era 0. Elegimos 0! como 1 porque de esta manera muchas fórmulas resultan coherentes.

De la misma manera al definir 0^0 buscamos que las fórmulas sean coherentes. Una de ellas es la escritura de los polinomios (o de las series de potencias) como sumatorias en las que aparece x^i con i comenzando desde 0 y que sólo están bien definidas para x = 0 si 0^0 es 1.

Pero otra fórmula más clara, simple y elegante que nos muestra por qué 0^0 debe ser 1 se relaciona (como el factorial) con la combinatoria. Para entenderla volvamos por un minuto al 0!. En teoría de lenguajes resulta muy útil definir la palabra vacía, que es la palabra que no tiene símbolos (el equivalente, para las palabras, del conjunto vacío).

Con dos letras podemos escribir dos palabras (si no repetimos letras y las usamos todas): AB y BA (y es así que 2! = 2). Con una letra podemos escribir una palabra: A (y 1! = 1). Sin letras podemos escribir una palabra: la palabra vacía. Gracias a la ficción de la palabra vacía podemos entonces "justificar" (a posteriori, en realidad) que 0! = 1.

Supongamos ahora que tenemos 3 letras y que queremos escribir palabras de 3 letras cada una, pero ahora admitiendo letras repetidas. Hay en total 3^3 = 27 palabras posibles (AAA, AAB, AAC, BAA, etc.)

Supongamos que tenemos 3 letras y que queremos escribir palabras de 2 letras cada una, admitiendo letras repetidas. Hay en total 3^2 = 9 palabras posibles.

Supongamos que tenemos 3 letras y que queremos escribir palabras de 1 letra cada una. Hay en total 3^1 = 3 palabras posibles.

Supongamos que tenemos 3 letras y que queremos escribir palabras de 0 letras cada una. Hay en total 3^0 = 1 palabras posibles (la palabra vacía).

Supongamos que tenemos 0 letras y que queremos escribir palabras de 2 letras cada una. Hay en total 0^2 = 0 palabras posibles (con 0 letras no se pueden escribir palabras de 2 letras).

Supongamos que tenemos 0 letras y que queremos escribir palabras de 1 letra cada una. Hay en total 0^1 = 0 palabras posibles (con 0 letras no se pueden escribir palabras de 1 letra).

Supongamos que tenemos 0 letras y que queremos escribir palabras de 0 letras cada una. Hay en total... sí, una palabra. La palabra vacía es una palabra de 0 letras. Por lo tanto, la coherencia de la fórmula nos lleva a decir que 0^0 = 1.

Se ve aquí por qué 0^n = 0 si n > 1, se debe a que con 0 letras no podemos formar palabras de n letras con n > 1.

Vemos también por qué n^0 = 1 si n > 1 porque con n letras podemos formar una sola palabra de cero letras (la palabra vacía).

Y vemos también por qué 0^0 = 1, porque con 0 letras podemos formar una sola palabra de cero letras (la palabra vacía).

La coherencia de las fórmulas nos lleva perfectamente a ver que, en efecto, 0^0 es, ni más ni menos, que 1.

Nota 1: Este razonamiento en base a "palabras" es la versión intuitiva de la demostración que dí en esta otra entrada.

Nota 2: No estoy de acuerdo con que la matemática sea un círculo lógico (como se citó en un comentario a la entrada anterior). El lenguaje matemático tiene, a veces, una estructura circular (o, si seguimos con las matáforas gráficas, en espiral): definimos a^n, tenemos su propiedades, que nos llevan a definir a^0, etc. Pero las convenciones del lenguaje matemático no son la matemática.

Que a^n = a.a...a (n veces) no es un hecho matemático, es sólo una convención de lenguaje. La matemática, la verdadera matemática (la de las ideas) no es, para nada, un círculo lógico.

Una aproximación intuitiva a 0^0 = 1 (Segunda parte)

El factorial de n se define así: n! = 1 x 2 x 3 x .... x n y, como es bien sabido, permite calcular la cantidad de formas diferentes en que se pueden permutar n elementos. O también podríamos decir que n! se define como la cantidad de maneras diferentes en que se pueden permutar n elementos y que se calcula como 1 x 2 x 3 x .... x n. Ambos puntos de vista son equivalentes y válidos.

Pero no importa cuál de los dos puntos de vista adoptemos, n! se define, en principio, para valores de n enteros y mayores o iguales que 1. Entonces ¿por qué (o para qué) querríamos extender esa definición al 0? Reconozcamos que querer calcular la cantidad de permutaciones de la nada parece un problema más de carácter filosófico que matemático. He ahí el quid de la cuestión: tratemos de entender de dónde surge realmente la necesidad de definir 0!

Imaginemos que aún no hemos definido 0! Existen muchas fórmulas en las que interviene el factorial. Una de las más conocidas es la del número combinatorio:

C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}

C(n, k) calcula la cantidad de subconjuntos de k elementos que tiene un conjunto de n elementos. Como el factorial está definido (por ahora) sólo para valores mayores o iguales que 1 entonces C(n, k) sólo puede calcularse si k está (estrictamente comprendido) entre 0 y n.

Ahora bien, aunque C(n, n) no esté definido según la fórmula anterior, es claro que debe ser igual a 1 (en un conjunto de n elementos hay sólo un subconjunto de n elementos). Para que, al ser calculado con la fórmula anterior, sea C(n, n) = 1, el valor de 0! debe ser 1.

De manera similar querríamos que C(n, 0) fuera 1 y esto sucede, en efecto, si 0! = 1.

La fórmula del polinomio de Taylor y otras quedan también elegante y coherentemente expresadas si 0! = 1. También la fórmula que dice que n!(n + 1) = (n + 1)!

Ésa es la verdadera razón por la que 0! = 1: para que las fórmulas en las que interviene n! puedan extender su validez al caso n = 0. Es una simple cuestión de eleganacia y coherencia. Que "hay una sola permutación de ningún objeto" es una explicación a posteriori que nos inventamos para convencernos de que la definición de 0! correcta. Pero, como dije en un comentario de la entrada anterior, también podríamos decir que si no hay nada que permutar entonces no hay permutación alguna.

Algo similar sucede con el conjunto vacío, que sólo existe porque es una ficción útil. Bien podríamos decir que la idea de "conjunto" implica una reunión de objetos y que si no hay objetos no hay conjunto. Pero resulta útil y conveniente que haya un conjunto que represente la nada. En el mismo orden, los gruegos de la antigüedad clásica no consideraban al 0 como número, y tampoco al 1, porque para ellos "número" era "diversidad" y el 1 era la "unidad". De modo que el 1 no era un número.

Las definiciones matemáticas son, hasta cierto punto, arbitrarias. Son convencines de lenguaje que resultan útiles y facilitan la comunicación, pero no son realidades "indubitables". Nadie puede "ver" o "medir" cuánto vale 0!, lo definimos por conveniencia.

Como se dijo en uno de los comentarios de la entrada anterior, la definición del factorial suele extenderse a valores no enteros (incluso negativos) usando la función Gamma (que aquí escribiré como G, la definición involucra una integral impropia y no es necesario darla aquí).

Se usa esta función porque tiene la propiedad de que si n es entero positivo entonces G(n + 1) = n! Basados en esta propiedad se define, para x cualquiera, x! como G(x + 1).

Cito ahora el clásico Elementos de Cálculo Diferencia e Integral de Sadosky-Guber en el que se calcula que, según la definición anterior, (0,5)! es la mitad de la raíz cuadrada de pi. No creo que nadie quiera afirmar que medio objeto admite un medio de la raíz cuadrada de pi permutaciones.

A medida que extendemos su validez definición la interpretación intuitiva inicial de las fórmulas se va desdibujando. Que 3! son las permutaciones de 3 elementos es claro, que 0! representa las permutaciones de 0 elementos es al menos discutible, para (0,5)! ya no hay interpretación intuitiva (no, al menos, en términos de permutaciones). Tampoco para C(0,5; -3,2) que, gracias a la función Gamma, puede calcularse.

Sadosky-Guber le atribuyen a (-1)! el valor infinito. Obviamente, sin recurrir a la idea de permutación.

Acerquémonos un poco más a 0^0 = 1. Para ello, dejo ahora una nueva pregunta: ¿por qué

a^{\frac{n}{m}}

se define como la raíz m-ésima de a^n?

Una aproximación intuitiva a 0^0 = 1 (Primera parte)

Prometí dar una aproximación intuitiva a la demostración de que 0^0 = 1. Comenzaré ahora a cumplir esa promesa. Debo decir que suelo abordar este tema en mis clases (enseño en un profesorado de matemáticas en la ciudad de Buenos Aires) y el modo en que normalmente lo hago es a través de preguntas que analizamos y discutimos entre todos.

Empezaré planteando algunas preguntas para que Uds. puedan pensarlas y discutirlas:

1) Como sabemos, si n es un entero mayor o igual que 1, entonces n! se define como el producto n(n - 1)(n - 2)...3.2.1. El factor n aparece en la definición de n!, por lo tanto, si quisiéramos dar una definición para 0!, el factor 0 debería aparecer en ella. Este razonamiento nos diría que la definición´"lógica y natural" para 0! sería 0.

Sin embargo, como sabemos también, 0! se define como 1 (único caso en el que dos números diferentes tienen el mismo factorial). ¿Por qué 0! es 1? ¿Puede darse un contexto real y concreto que muestre por qué 0! = 1? (Quiero decir: si quisiéramos "ver" de un modo concreto que 1 + 1 = 2 tomaríamos una bolita, otra bolita y al juntarlas veríamos que hay dos bolitas ¿Cómo podría verse de modo similar que 0! es 1 y que no es 0?)

2) ¿Puede definirse (0,5)! (factorial de 0,5)? ¿Sí? ¿No? Si la respuesta es sí, ¿puede darse un contexto real y concreto que muestre cómo hacerlo?