¿Verdadero o falso?


"Si un número entero es negativo entonces ese número es positivo."

"Si 3 es negativo entonces 3 es positivo."

¿Sí o no?


"Si todo triángulo tiene tres lados entonces esta afirmación (la implicación completa) es falsa."

(*) Agregado para evitar ambigüedades.

Una demostración

(Esta entrada ya había sido publicada en el blog en julio de 2013; se la vuelve publicar aquí "remozada".)

Vamos a demostrar a continuación que si p es un número primo que es divisor del producto ab entonces p es divisor de a o es divisor de b. La "originalidad" de esta demostración reside en el hecho de que se basa directamente en el principio del mínimo mientras que la demostración que habitualmente se encuentra en los libros usa el hecho de que si mcd(a,b) = 1 entonces existen s y t tales que as + bt = 1.

(Aunque casi nunca se lo mencione explícitamente, todos los números mencionados son enteros positivos.)

Teorema: Si p es un número primo positivo y $k,a,b\in \mathbb{N}$ son tales que pk = ab entonces p es divisor de a o p es divisor de b.

Demostración: Supongamos que la afirmación es falsa y sea p el menor primo para el cual existen $k,a,b\in \mathbb{N}$ con pk = ab sin que p sea divisor de a ni de b. De todos los valores posibles de k elegimos, a su vez, el menor posible. 

Afirmo que $a < p$ y que $b < p$. En efecto, supongamos que $p < a$ (no pueden se iguales porque p no es divisor de a). Dividimos a por p y obtenemos a = pq + r; como p y q son positivos entonces $r < a$ y además p no es divisor de r (porque no es divisor de a). 

Luego, ab = pqb + rb y en consecuencia p es divisor de rb, existe entonces un k' tal que pk' = rb. Observemos que $pk^\prime = rb < ab = pk$ y entonces $k^\prime < k$ con pk' = rb y además r y b no divisibles por p. Esto contradice la minimalidad de k. El absurdo proviene de suponer que $p < a$, deducimos entonces que $a < p$.

Tenemos entonces que pk = ab con $a < p$ y $b < p$. Nótese que $pk = ab < p^2$, luego $k < p$. Sea $p^\prime $ primo y $n\in \mathbb{N}$ tales que $p^\prime n = k$ (si k resultara ser primo, entonces tomamos $p^\prime =k$ y $n=1$). Luego, $pp^\prime n=ab$. Como $p^\prime \leq k < p$ entonces, por la minimalidad de p, $p^\prime $ es divisor de a o es divisor de b. Podemos suponer que $p^\prime $ es divisor de a, luego, existe t tal que $p^\prime t=a$. Tenemos que:

$pk = ab$
$pp^\prime n = p^\prime tb$
$pn = tb$

Como n es menor que k entonces, por la minimalidad de k, p es divisor de t (y entonces, divisor de a) o bien p es divisor de b. En ambos casos se llega a un absurdo. Esto finaliza la demostración.

Desafío para los lectores: ¿En qué punto de la demostración se usa la hipótesis de que p es primo?

Axiomas de Peano y consecuencias (4)

(Para ver todas las entradas de esta serie hágase clic aquí.)
A la parte 3 - A la parte 5

Definición: 1 = S(0).

Teorema 10: $1\neq 0$.
(Es consecuencia inmediata del axioma 1.)

Teorema 11: n + 1 = S(n).
Demostración:
n + 1 = 
= n + S(0)  (definición)
= S(n + 0)  (Ax. 4)
= S(n)   (Ax. 3)

Teorema 12: 1.n = n.
Demostración:
Por inducción. Para n = 0 vale por el axioma 5. 
Veamos que 1.n = n implica 1.S(n) = S(n).
1.S(n) = 
= 1.n + 1  (Ax. 6)
= n  + 1  (por hipótesis)
= S(n)  (Teo. 11).

Definiciones:
2 = S(1)
3 = S(2)
4 = S(3)
5 = S(4)
etc.

Productoria

1) Si $(a_1,\dots ,a_n)$ es una n-upla de números reales, la productoria $\prod (a_1,\dots ,a_n)$ se define, inductivamente, de esta manera:

Para $n=0$, definimos $\prod ()=1$.
Supuesto definido $\prod (a_1,\dots ,a_n)$, definimos $\prod (a_1,\dots ,a_n,a_{n+1}) = a_{n+1}\cdot \prod (a_1,\dots ,a_n)$.

2) Definimos $b^n=\prod (b,\dots ,b)$, donde b aparece n veces; en particular $b^0=\prod ()=1$. Y más en particular $0^0=\prod ()=1$.

Dos problemas de probabilidad

Problema 1: Una bolsa contiene 17 bolillas, de ellas 8 tienen marcada una letra A y las otras 9, una letra B. De las que tienen la letra A, 6 son rojas y 2 son negras; de las que tienen la letra B, 4 son rojas y 5 son negras. Se extrae una bolilla al azar y se observa que es roja ¿cuál es la probabilidad de que tenga inscripta una letra A?

Problema 2: Tenemos 17 bolillas, de ellas 8 tienen marcada una letra A y las otras 9, una letra B. De las que tienen la letra A, 6 son rojas y 2 son negras; de las que tienen la letra B, 4 son rojas y 5 son negras. Las bolillas que tienen la letra A son colocadas en una bolsa, las que tienen la letra B son colocadas en una bolsa diferente. Luego, se elige al azar una de las dos bolsas y de ella se extrae al azar una bolilla. Se observa que la bolilla extraída es roja ¿cuál es la probabilidad de que tenga inscripta una letra A?

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