Adenda sobre los puntos de acumulación
En esta entrada quiero ampliar la explicación del papel que jugó, en el desarrollo de la teoría de los ordinales, el concepto de "punto de acumulación". Fue mencionado en capítulos anteriores, pero ahora voy a profundizar en conceptos antes mencionados un poco al pasar.
Decíamos algunos capítulos atrás que, a principios de la década de 1870, Georg Cantor comenzó a trabajar en la Universidad de Halle. Allí Eduard Heine, su director, le planteó el siguiente problema: tenemos una función periódica f(x) que hemos desarrollado en serie de Fourier, si en cada período la cantidad de puntos singulares de f(x) (es decir, los puntos de discontinuidad de f(x) o puntos donde la serie es divergente) es infinita ¿podemos asegurar entonces que esa escritura en serie de Fourier de f(x) es la única posible (o, por el contrario, podrá haber otra serie diferente que converja a la misma función)?
Recordemos que Heine ya había resuelto afirmativamente la cuestión para una cantidad finita de punto singulares, Cantor se enfrentaba ahora al "caso infinito".
Dijimos también que, pocos meses después de planteado el problema, Cantor tenía ya una primera respuesta: puede asegurarse que la escritura es única siempre y cuando los puntos singulares estén distribuidos en la recta de una manera determinada. Pero Cantor, en primera instancia, no supo encontrar una manera clara y directa de describir cuáles eran las condiciones que debía cumplir esa distribución. Después de un tiempo logró obtener esa descripción clara y simple, y para ello creó el concepto de "punto de acumulación".
¿Qué es un punto de acumulación? Voy a dar la definición que dio Cantor, que él refería específicamente al caso de los números reales (posteriormente el concepto se llevó a contextos mucho más generales). Necesitamos previamente recordar qué significa que una sucesión de números converge a un límite L.
Una sucesión a(1), a(2), a(3),... converge a L si, fijada cualquier distancia épsilon, existe un número natural n (que depende de épsilon) tal que si m > n entonces la distancia entre a(m) y L se hace menor que épsilon. Traducido a un castellano más impreciso pero tal vez menos árido: a(1), a(2), a(3),... converge a L si, tomando n suficientemente grande, todos términos de la sucesión a partir de a(n) se acercan a L tanto como se quiera.
El ejemplo clásico es la sucesión a(n) = 1/n, cuyos términos son 1, 1/2, 1/3, 1/4,... y que converge a 0.
Definición: Si P es un subconjunto de los números reales, decimos que b es punto de acumulación de P si existe una sucesión a(n) no constante y formada totalmente por elementos de P, tal que a(n) converge a b.
Por ejemplo, si P = (0,1), entonces 0 es punto de acumulación de P. Por ejemplo, una sucesión formada por elementos de P y que converge a 0 es a(n) = 1/(n + 1) (siempre tomaremos n = 1, 2, 3, 4,...). En realidad, es fácil ver que el conjunto de todos los puntos de acumulación de P es [0,1].
Ejercicio para el lector: Demuestre, a partir de la definición dada más arriba, que si P es finito entonces no tiene puntos de acumulación.
Definición: Llamaremos P', el derivado de P, al conjunto de todos los puntos de acumulación de P.
Por lo tanto, para P = (0,1), tenemos P' = [0,1].
Pasemos a otro ejemplo. Tomemos ahora P = {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...}. Es decir, P está formado por el 0 y por todos los números de la forma 1/n con n = 1, 2, 3, 4,... Es evidente que 0 es punto de acumulación de P. ¿Qué pasa con los demás números?
Veamos, el 1 no es punto de acumulación de P. Si lo fuera, debería haber otros elementos de P tan cercanos al 1 como se desee (esos elementos serían los términos de la sucesión a(n) de los que habla la definición). Pero esto no sucede, ya que no hay otros puntos de P a manos de 1/2 de distancia del 1. Es decir, en todo el intervalo (1 - 1/2, 1 + 1/2) no hay elementos de P diferentes del 1 mismo. Por lo tanto, el 1 es un punto aislado de P y no es punto de acumulación.
Lo mismo sucede con el 1/2, ya que no hay puntos de P a distancia menor que 1/6 de él. Y también sucede con el 1/3, el 1/4, etc. Todos los puntos de la forma 1/n son puntos aislados de P. Por otra parte, es fácil ver que los puntos que no pertenecen a P tampoco son puntos de acumulación. Por lo tanto, para P = {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...} vale que P' = {0}.
Por supuesto, podemos también definir el derivado del derivado e P que es (P')' = P". Y el derivado de éste: (P")' = P''', etc. A los que llamaremos derivado segundo, derivado tercero, etc.
Observemos que si P = (0,1) entonces P' = [0,1], P" = [0,1], P''' = [0,1], etc.
Por otra parte, si P = {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...}, entonces P' = {0} y P" es el conjunto vacío (el derivado de {0}, como para todo conjunto finito, es el vacío). Tenemos así que el derivado segundo de P es el conjunto vacío.
¿Será posible hallar un conjunto P tal que su derivado tercero sea el vacío (pero ninguno de los anteriores)? La respuesta es afirmativa, pero la estudiaremos en el próximo capítulo...
