Con esta entrada quiero cerrar el círculo que comenzó con Pregúntenzen, y siguió con Sherlock Holmes y Alef-uno y su Adenda. Recuerdo las cinco preguntas-zen del comienzo:
0. ¿Los hexágonos de cinco lados son polígonos regulares?
1. ¿Las sirenas son mamíferos o peces?
2. ¿Sherlock Holmes es inglés?
3. ¿Viajó alguna vez Harry Potter a China?
4. ¿Papá Noel (o Santa Claus) usa un traje rojo?
La pregunta cero refiere a la cuestión de la consistencia lógica, a la que aludí en la Adenda: un concepto lógicamente inconsistente no es aceptable en la "matemática ficcional".
De Shelock Holmes y Harry Potter (preguntas 2 y 3) ya he hablado extensamente. Acerca de la pregunta 1, la relaciono con esta cuestión ¿es el 0 un número natural?
La pregunta 4 se relaciona el hecho de que, puesto que en la matemática ficcional la verdad depende del consenso entre seres humanos mortales, entonces sus verdades no tienen un carácter universal e inmutable, sino que cambian con el tiempo.
¿Usa Papá Noel un traje rojo (esencialmente rojo)? La respuesta es que originalmente no era así. En sus inicios, el traje de Papá Noel era blanco, pero a principios del siglo XX la Coca Cola se apropió del peronaje para su publicidad y como el logo de la Coca Cola es rojo, entonces vistió de ese color a Papá Noel. Hoy en día el traje es rojo, pero no siempre fue así, de la misma manera en que hubo un día en que el Axioma de Elección era "falso", pero hoy día es "verdadero".
Cierro con una última pregunta: ¿Sherlock Holmes es inglés, o era inglés?
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Adenda a Shelock Holmes y Alef-uno
Se llama Hipótesis del Continuo a la conjetura (formulada por Georg Cantor a fines del siglo XIX) que dice que Alef-uno = 2^(Alef-cero).
En sendos trabajos publicados respectivamente en 1940 y 1962 Kurt Gödel y Paul Cohen demostraron que la Hipótesis del Continuo (en adelante, HC) es indecidible en la Teoría de Conjuntos. Es decir, si tomamos los axiomas de la Teoría de Conjuntos no es posible demostrar a partir de ellos que HC sea verdadera, ni tampoco es posible demostrar que sea falsa.
"Sin embargo", escribió Gödel, "los axiomas de la Teoría de Conjuntos describen una realidad objetiva en la que HC es, o bien verdadera, o bien falsa". Según este punto de vista, la indecidibilidad de HC sólo habla de la limitación de los axiomas elegidos. Haría falta agregar algún axioma nuevo a la teoría, alguna afirmación "verdadera" que sirva de nuevo axioma y que permita determinar si, en la realidad objetiva de los conjuntos, HC es verdadera o es falsa. (Cohen, de hecho, creía que era falsa.)
En la entrada titulada Shelock Holmes y Alef-uno me permití el atrevimiento de disentir con esa opinión de Gödel. Quiero ahora ampliar un poco mi explicación.
Vuelvo a una pregunta que hice en una entrada anterior: ¿Estuvo Harry Potter (el personaje de ficción) alguna vez en China? La respuesta es que no se sabe. A partir de los "axiomas" de Harry Potter (léase, los textos escritos por J. K. Rowling) la afirmación "Harry Potter estuvo en China" es indecidible (de la misma forma que HC es indecidible para la Teoría de Conjuntos).
Pero no hay una realidad objetiva en la que "Harry Potter estuvo en China" sea una afirmación verdadera o falsa. Harry Potter existe en una realidad ficcional creada por J. K. Rowling. Para determinar si Harry Potter estuvo, o no, en China necesitamos un nuevo axioma, un nuevo texto (oral o escrito) generado por Rowling que nos permita decidir esa cuestión.
¿Por qué el texto debe estar generado por Rowling? No sólo porque ella es la creadora del personaje, sino porque es reconocida por todos aquellos en cuyas mentes existe Harry Potter como la autoridad máxima en la vida del personaje. La verdad o falsedad sobre Harry Potter nace del consenso de los lectores de sus historias, quienes reconocen a Rowling como la referncia principal en esas cuestiones.
¿Estuvo Sherlock Holmes en China? La situación es la misma que con Harry Potter, con la diferencia de que Conan Doyle (el creador de Holmes) ya no vive, por lo que no tenemos una referencia máxima que pueda zanjar estas cuestiones de un modo que sea unánimemente aceptado. El consenso acerca de si Holmes estuvo, o no, alguna vez en China debería lograrse por un largo y difícil acuerdo entre todos aquellos en cuyas mentes vive Holmes.
Mi tesis es que algo similar a Holmes y Harry Potter ocurre con la Teoría de Conjuntos (y con otras ramas de la Matemática). La Teoría de Conjuntos, contrariamente a lo que opinaba Gödel, no describe una realidad objetiva, sino una realidad ficcional creada inicialmente por Georg Cantor (y que luego tuvo que ser modificada). Alef-uno, como Holmes, sólo "vive" en la mente de los matemáticos (diría, en la mente de los matemáticos interesados en la Teoría de Conjuntos).
(Dicho sea de paso, no hay una sola Teoría de Conjuntos, en general se le da ese nombre a la Teoría de Zermelo-Fraenkel, pero hay otras teorías de conjuntos no equivalentes a ella. Así que ¿cómo puede hablarse de una realidad objetiva?)
Imaginemos que los principales astrónomos, cosmólogos y físicos del mundo se reunieran y decretaran que el Universo no se está expandiendo. Que, de hecho, es una esfera fija de unos cuantos miles de kilómetros de diámetro con la Tierra en el centro. A pesar de eso, allá afuera, el Universo se seguiría expandiéndose alegremenre, indiferente a lo que esos astrónomos y físícos dijeran de él.
A principios del siglo XX, en la Teoría de Conjuntos, se produjo una controversia acerca de si se debía aceptar, o no, el Axioma de Elección. Nunca hubo, que yo sepa, un cónclave de matemáticos para resolver la cuestión, pero a la larga el Axioma de Elección fue aceptado y hoy en día se lo usa sin problemas en todas las demostraciones donde cuadre usarlo.
¿Qué pruebas empíricas respaldaron al Axioma de Elección? Respuesta: ninguna. No podía haber pruebas empíricas porque el Axioma de Elección, por su propia naturaleza, carece de todo correlato físico. Fue aceptado porque el consenso de los especialistas (los lectores en cuyas mentes vive la Teoría de Conjuntos) finalmente convino en aceptarlo (por razones de conveniencia o por lo que fuere, pero no por razones objetivas externas a la teoría).
Otro tanto sucede con HC. Es posible, e incluso es probable, que algún día no muy lejano se incorpore un nuevo axioma a la Teoría de Conjuntos que permita demostrar o refutar HC. ¿Qué es lo que hace que un axioma sea aceptado como "verdadero"? De la misma manera que con el Axioma de Elección, la aceptación sólo podrá surgir del consenso de los especialistas, de la misma manera que cualquier nueva verdad sobre Sherlock Holmes deberá pasar por el tamiz del consenso de sus lectores. (En el caso de la Teoría de Conjutnos, debe darse el requisito técnico de que el nuevo axioma sea comsistente con los axiomas ya existentes, pero el consenso de los especialistas es el primer requisito.)
La llamada Conjetura de Goldbach, , en adelante CG, es la conjetura (formulada por Christian Goldbach a mediados del siglo XVIII) que dice que todo número par mayor que 2 es suma de dos números primos. Hasta el día de hoy no ha sido demostrada ni refutada. Supongamos que se probara que CG es indecidible con respecto a los Axiomas de Peano (los axiomas estándar de la Aritmética). ¿Diríamos también que su verdad o falsedad vive solamente en el consenso de los especialistas? En este caso no, ya que CG sí se refiere a una realidad objetiva.
Supongamos que tengamos n piedritas. Que n sea par, quiere decir que se las puede dividir en dos grupos iguales. Que una cantidad de piedritas sea un número primo quuere decir que con ellas no se puede armar un rectángulo (salvo el trivial que consiste en una única línea de piedras). Expresa en términos de piedras, la conjetura dice que si tenemos más de dos piedritas y podemos distribuirlas en dos grupos iguales, entonces podemos también distribuirlas en dos grupos que tienen ambos una cantidad prima de piedras.
O bien esa división en dos grupos primos de piedras puede hacerse siempre, o bien no se puede hacerse siempre. CG es, en un sentido objetivo, verdadera o falsa, independientemente de que nuestros axiomas permitan, o no, demostrarla.
De modo que existe, por un lado, una "matemática ficcional" (o "ideal", o una "matemática shelockiana") en la que la verdad o la falsedad de sus afirmaciones nace solamente del consenso de los espacialistas (y de la consistencia lógica). Y, por otro lado, existe una "matemática objetiva" (o "real") que sí tiene un correlato objetivo, en el que "verdad" o "falsedad" tienen un sentido claro, preciso e independiente del consenso de los especialista. ¿Dónde trazaríamos la línea divisoria entre una y otra? ¿Acaso existirá tal línea? Por ahora, hasta ahí llegan mis reflexiones.
En sendos trabajos publicados respectivamente en 1940 y 1962 Kurt Gödel y Paul Cohen demostraron que la Hipótesis del Continuo (en adelante, HC) es indecidible en la Teoría de Conjuntos. Es decir, si tomamos los axiomas de la Teoría de Conjuntos no es posible demostrar a partir de ellos que HC sea verdadera, ni tampoco es posible demostrar que sea falsa.
"Sin embargo", escribió Gödel, "los axiomas de la Teoría de Conjuntos describen una realidad objetiva en la que HC es, o bien verdadera, o bien falsa". Según este punto de vista, la indecidibilidad de HC sólo habla de la limitación de los axiomas elegidos. Haría falta agregar algún axioma nuevo a la teoría, alguna afirmación "verdadera" que sirva de nuevo axioma y que permita determinar si, en la realidad objetiva de los conjuntos, HC es verdadera o es falsa. (Cohen, de hecho, creía que era falsa.)
En la entrada titulada Shelock Holmes y Alef-uno me permití el atrevimiento de disentir con esa opinión de Gödel. Quiero ahora ampliar un poco mi explicación.
Vuelvo a una pregunta que hice en una entrada anterior: ¿Estuvo Harry Potter (el personaje de ficción) alguna vez en China? La respuesta es que no se sabe. A partir de los "axiomas" de Harry Potter (léase, los textos escritos por J. K. Rowling) la afirmación "Harry Potter estuvo en China" es indecidible (de la misma forma que HC es indecidible para la Teoría de Conjuntos).
Pero no hay una realidad objetiva en la que "Harry Potter estuvo en China" sea una afirmación verdadera o falsa. Harry Potter existe en una realidad ficcional creada por J. K. Rowling. Para determinar si Harry Potter estuvo, o no, en China necesitamos un nuevo axioma, un nuevo texto (oral o escrito) generado por Rowling que nos permita decidir esa cuestión.
¿Por qué el texto debe estar generado por Rowling? No sólo porque ella es la creadora del personaje, sino porque es reconocida por todos aquellos en cuyas mentes existe Harry Potter como la autoridad máxima en la vida del personaje. La verdad o falsedad sobre Harry Potter nace del consenso de los lectores de sus historias, quienes reconocen a Rowling como la referncia principal en esas cuestiones.
¿Estuvo Sherlock Holmes en China? La situación es la misma que con Harry Potter, con la diferencia de que Conan Doyle (el creador de Holmes) ya no vive, por lo que no tenemos una referencia máxima que pueda zanjar estas cuestiones de un modo que sea unánimemente aceptado. El consenso acerca de si Holmes estuvo, o no, alguna vez en China debería lograrse por un largo y difícil acuerdo entre todos aquellos en cuyas mentes vive Holmes.
Mi tesis es que algo similar a Holmes y Harry Potter ocurre con la Teoría de Conjuntos (y con otras ramas de la Matemática). La Teoría de Conjuntos, contrariamente a lo que opinaba Gödel, no describe una realidad objetiva, sino una realidad ficcional creada inicialmente por Georg Cantor (y que luego tuvo que ser modificada). Alef-uno, como Holmes, sólo "vive" en la mente de los matemáticos (diría, en la mente de los matemáticos interesados en la Teoría de Conjuntos).
(Dicho sea de paso, no hay una sola Teoría de Conjuntos, en general se le da ese nombre a la Teoría de Zermelo-Fraenkel, pero hay otras teorías de conjuntos no equivalentes a ella. Así que ¿cómo puede hablarse de una realidad objetiva?)
Imaginemos que los principales astrónomos, cosmólogos y físicos del mundo se reunieran y decretaran que el Universo no se está expandiendo. Que, de hecho, es una esfera fija de unos cuantos miles de kilómetros de diámetro con la Tierra en el centro. A pesar de eso, allá afuera, el Universo se seguiría expandiéndose alegremenre, indiferente a lo que esos astrónomos y físícos dijeran de él.
A principios del siglo XX, en la Teoría de Conjuntos, se produjo una controversia acerca de si se debía aceptar, o no, el Axioma de Elección. Nunca hubo, que yo sepa, un cónclave de matemáticos para resolver la cuestión, pero a la larga el Axioma de Elección fue aceptado y hoy en día se lo usa sin problemas en todas las demostraciones donde cuadre usarlo.
¿Qué pruebas empíricas respaldaron al Axioma de Elección? Respuesta: ninguna. No podía haber pruebas empíricas porque el Axioma de Elección, por su propia naturaleza, carece de todo correlato físico. Fue aceptado porque el consenso de los especialistas (los lectores en cuyas mentes vive la Teoría de Conjuntos) finalmente convino en aceptarlo (por razones de conveniencia o por lo que fuere, pero no por razones objetivas externas a la teoría).
Otro tanto sucede con HC. Es posible, e incluso es probable, que algún día no muy lejano se incorpore un nuevo axioma a la Teoría de Conjuntos que permita demostrar o refutar HC. ¿Qué es lo que hace que un axioma sea aceptado como "verdadero"? De la misma manera que con el Axioma de Elección, la aceptación sólo podrá surgir del consenso de los especialistas, de la misma manera que cualquier nueva verdad sobre Sherlock Holmes deberá pasar por el tamiz del consenso de sus lectores. (En el caso de la Teoría de Conjutnos, debe darse el requisito técnico de que el nuevo axioma sea comsistente con los axiomas ya existentes, pero el consenso de los especialistas es el primer requisito.)
La llamada Conjetura de Goldbach, , en adelante CG, es la conjetura (formulada por Christian Goldbach a mediados del siglo XVIII) que dice que todo número par mayor que 2 es suma de dos números primos. Hasta el día de hoy no ha sido demostrada ni refutada. Supongamos que se probara que CG es indecidible con respecto a los Axiomas de Peano (los axiomas estándar de la Aritmética). ¿Diríamos también que su verdad o falsedad vive solamente en el consenso de los especialistas? En este caso no, ya que CG sí se refiere a una realidad objetiva.
Supongamos que tengamos n piedritas. Que n sea par, quiere decir que se las puede dividir en dos grupos iguales. Que una cantidad de piedritas sea un número primo quuere decir que con ellas no se puede armar un rectángulo (salvo el trivial que consiste en una única línea de piedras). Expresa en términos de piedras, la conjetura dice que si tenemos más de dos piedritas y podemos distribuirlas en dos grupos iguales, entonces podemos también distribuirlas en dos grupos que tienen ambos una cantidad prima de piedras.
O bien esa división en dos grupos primos de piedras puede hacerse siempre, o bien no se puede hacerse siempre. CG es, en un sentido objetivo, verdadera o falsa, independientemente de que nuestros axiomas permitan, o no, demostrarla.
De modo que existe, por un lado, una "matemática ficcional" (o "ideal", o una "matemática shelockiana") en la que la verdad o la falsedad de sus afirmaciones nace solamente del consenso de los espacialistas (y de la consistencia lógica). Y, por otro lado, existe una "matemática objetiva" (o "real") que sí tiene un correlato objetivo, en el que "verdad" o "falsedad" tienen un sentido claro, preciso e independiente del consenso de los especialista. ¿Dónde trazaríamos la línea divisoria entre una y otra? ¿Acaso existirá tal línea? Por ahora, hasta ahí llegan mis reflexiones.
Sherlock Holmes y Alef-uno
Llamo (la denominación es puramente personal) pregunta-zen a una pregunta que tiene como propósito motivar la reflexión, una pregunta en la que no importa la respuesta en sí sino el proceo que lleva hasta esa respuesta, o las líneas colaterales de razonamiento que ese proceso genera (de hecho, dar una respuesta definitiva mata el objetivo de la pregunta).
Las preguntas de la entrada anterior tenían ese caráter de preguntas-zen. Su tema, en líneas generales, era ¿podemos atribuir propiedades a un objeto que no existe?
Por ejemplo, no existen hexágonos de cinco lados. Más aún, no puede existir, porque el concepto de "hexágono de cinco lados" es contradictorio en sí mismo. ¿Tenemos derecho a decir, entonces, que un hexágono de cinco lados es un polígono irregular? ¿Tenemos derecho a hablar de él, a atribuirle cualquier característica -aparte de la de ser contradictorio y no existir-?
Por su parte, Shelock Holmes tampoco existe, al menos en el sentido de que los relatos de Conan Doyle no describen hechos ni personas que hayan existido en la realidad. Sin embargo, todos sabemos que Holmes era inglés (o británico, si se quiere) y que, por lo tanto, la afirmación "Shelock Holmes nació en Alemania" es falsa.
Decir que "Un hexágono de cinco lados es un polígono irregular", más que falso es un sinsentido, porque habla de un objeto inexistente. Pero "Shelock Holmes nació en Alemania" es falsa y nadie diría que es un sinsentido, aunque Holmes tampoco exista.
O, podemos decir, que Holmes sí existe, no como ser humano real, sino como personaje de ficción, o como ser que "habita" en el imaginario popular (de la misma forma que Papá Noel o Harry Potter -hablo del personaje de J. Rowling, no del actor-).
Sherlock Holmes, de Baker Street, de W. S. Baring-Gould, es una "biografía" de Holmes, basada en los relatos de Conan Doyle. En algún momento el autor dice que "se puede demostrar" que tal o cual aventura de Holmes comenzó un viernes y que terminó el domingo siguiente (basado en que Watson afirma que la noche en que terminó esa aventura fueron a tal teatro a escuchar un concierto y que en esos años, en ese teatro, sólo había conciertos los domiengos, etc.).
Hay aquí una clara analogía con la Matemática. Los relatos de Conan Doyle son los "axiomas" de Holmes, a partir de los cuales podemos deducir ciertos "teoremas". De la misma forma los relatos de Rowling son los "axiomas" de Harry Potter. ¿Estuvo alguna vez Harry Potter en China? Los axiomas no permiten demostrarlo ni refutarlo. Para los axiomas de Harry Potter, es una afirmación indecidible.
En su famosa conferencia de París, de 1900, David Hilbert decía que si la definición de un objeto matemático no es contradictoria en sí misma, entonces ese objeto existe. Salgamos un centímetro de la Matemática: la frase Hilbert nos permite asegurar que, en efecto, Holmes, sin duda, existe.
¿Existe Alef-uno (el primer cardinal no numerable)? Cuando Hilbert enunció la frase que antes cité tenía en mente principalmente la Teoría de los Transfinitos de Cantor (teoría cuya validez estaba en entredicho por aquellos años). Si la definición de Alef-uno no es contradictoria, diría Hilbert en 1900 (un par de décadas después quizás lo habría pensado un poco más), entonces podemos afirmar que Alef-uno existe y que es perfectamente válido atribuirle propiedades.
Gödel fue aún más allá y años más tarde escribió que la Teoría de Conjuntos (en partircular, la Teoría de los Transfinitos) describe una realidad objetiva (independiente de la mente humana), acerca de la cual cada afirmación es, o bien verdadera, o bien falsa. La existencia de afirmaciones indecidibles se debe, dice Gödel, solamente a una limitación de los métodos de demostración, es decir, a una limitación del conocimiento humano.
Pero (si se me permite el atrevimiento) creo que Gödel se equivocaba en ese punto. Mi tesis (que algún día tal vez escribiré realmente en forma de tesis) es que Alef-uno existe tanto como existe Sherlock Holmes (o Harry Potter). Ambos tienen el mismo nivel de existencia, y por las mismas razones. Cantor creó Alef-uno de la misma manera que Conan Doyle creó a Sherlock Holmes, y así como hay axiomas de la Teoría de Conjuntos, también hay, como ya vimos, "axiomas" de Holmes. Y así como Harry Potter no vive en una realidad objetiva, de la misma manera la Teoría de los Transfinitos tampoco describe una realidad objetiva.
Más de una vez he dicho en mis clases o en charlas que la Matemática, más que una ciencia, es un arte (1). Agrego ahora: es una arte muy parecido a la literatura.
Nota:
(1) Esta afirmación suele ser rechazada por el público (alguna vez, incluso, violentamente). Probablemente el rechazo se deba a que hay quienes sienten que, al decir que es un arte, estoy menospreciando a la Matemática. En realidad la estoy enalteciendo, ya que en lo personal considero que el arte, en cuanto fruto del espíritu humano, es superior a la ciencia. Ciertamente me gusta la idea de pensar a la Matemática como hermanada con la poesía.
Las preguntas de la entrada anterior tenían ese caráter de preguntas-zen. Su tema, en líneas generales, era ¿podemos atribuir propiedades a un objeto que no existe?
Por ejemplo, no existen hexágonos de cinco lados. Más aún, no puede existir, porque el concepto de "hexágono de cinco lados" es contradictorio en sí mismo. ¿Tenemos derecho a decir, entonces, que un hexágono de cinco lados es un polígono irregular? ¿Tenemos derecho a hablar de él, a atribuirle cualquier característica -aparte de la de ser contradictorio y no existir-?
Por su parte, Shelock Holmes tampoco existe, al menos en el sentido de que los relatos de Conan Doyle no describen hechos ni personas que hayan existido en la realidad. Sin embargo, todos sabemos que Holmes era inglés (o británico, si se quiere) y que, por lo tanto, la afirmación "Shelock Holmes nació en Alemania" es falsa.
Decir que "Un hexágono de cinco lados es un polígono irregular", más que falso es un sinsentido, porque habla de un objeto inexistente. Pero "Shelock Holmes nació en Alemania" es falsa y nadie diría que es un sinsentido, aunque Holmes tampoco exista.
O, podemos decir, que Holmes sí existe, no como ser humano real, sino como personaje de ficción, o como ser que "habita" en el imaginario popular (de la misma forma que Papá Noel o Harry Potter -hablo del personaje de J. Rowling, no del actor-).
Sherlock Holmes, de Baker Street, de W. S. Baring-Gould, es una "biografía" de Holmes, basada en los relatos de Conan Doyle. En algún momento el autor dice que "se puede demostrar" que tal o cual aventura de Holmes comenzó un viernes y que terminó el domingo siguiente (basado en que Watson afirma que la noche en que terminó esa aventura fueron a tal teatro a escuchar un concierto y que en esos años, en ese teatro, sólo había conciertos los domiengos, etc.).
Hay aquí una clara analogía con la Matemática. Los relatos de Conan Doyle son los "axiomas" de Holmes, a partir de los cuales podemos deducir ciertos "teoremas". De la misma forma los relatos de Rowling son los "axiomas" de Harry Potter. ¿Estuvo alguna vez Harry Potter en China? Los axiomas no permiten demostrarlo ni refutarlo. Para los axiomas de Harry Potter, es una afirmación indecidible.
En su famosa conferencia de París, de 1900, David Hilbert decía que si la definición de un objeto matemático no es contradictoria en sí misma, entonces ese objeto existe. Salgamos un centímetro de la Matemática: la frase Hilbert nos permite asegurar que, en efecto, Holmes, sin duda, existe.
¿Existe Alef-uno (el primer cardinal no numerable)? Cuando Hilbert enunció la frase que antes cité tenía en mente principalmente la Teoría de los Transfinitos de Cantor (teoría cuya validez estaba en entredicho por aquellos años). Si la definición de Alef-uno no es contradictoria, diría Hilbert en 1900 (un par de décadas después quizás lo habría pensado un poco más), entonces podemos afirmar que Alef-uno existe y que es perfectamente válido atribuirle propiedades.
Gödel fue aún más allá y años más tarde escribió que la Teoría de Conjuntos (en partircular, la Teoría de los Transfinitos) describe una realidad objetiva (independiente de la mente humana), acerca de la cual cada afirmación es, o bien verdadera, o bien falsa. La existencia de afirmaciones indecidibles se debe, dice Gödel, solamente a una limitación de los métodos de demostración, es decir, a una limitación del conocimiento humano.
Pero (si se me permite el atrevimiento) creo que Gödel se equivocaba en ese punto. Mi tesis (que algún día tal vez escribiré realmente en forma de tesis) es que Alef-uno existe tanto como existe Sherlock Holmes (o Harry Potter). Ambos tienen el mismo nivel de existencia, y por las mismas razones. Cantor creó Alef-uno de la misma manera que Conan Doyle creó a Sherlock Holmes, y así como hay axiomas de la Teoría de Conjuntos, también hay, como ya vimos, "axiomas" de Holmes. Y así como Harry Potter no vive en una realidad objetiva, de la misma manera la Teoría de los Transfinitos tampoco describe una realidad objetiva.
Más de una vez he dicho en mis clases o en charlas que la Matemática, más que una ciencia, es un arte (1). Agrego ahora: es una arte muy parecido a la literatura.
Nota:
(1) Esta afirmación suele ser rechazada por el público (alguna vez, incluso, violentamente). Probablemente el rechazo se deba a que hay quienes sienten que, al decir que es un arte, estoy menospreciando a la Matemática. En realidad la estoy enalteciendo, ya que en lo personal considero que el arte, en cuanto fruto del espíritu humano, es superior a la ciencia. Ciertamente me gusta la idea de pensar a la Matemática como hermanada con la poesía.
Pregúntenzen
0. ¿Los hexágonos de cinco lados son polígonos regulares?
1. ¿Las sirenas son mamíferos o peces?
2. ¿Sherlock Holmes es inglés?
3. ¿Viajó alguna vez Harry Potter a China?
4. ¿Papá Noel (o Santa Claus) usa un traje rojo?
1. ¿Las sirenas son mamíferos o peces?
2. ¿Sherlock Holmes es inglés?
3. ¿Viajó alguna vez Harry Potter a China?
4. ¿Papá Noel (o Santa Claus) usa un traje rojo?