el mordisco de la RATA URBANA GIGANTEEEEE!


alguna que otra rabiosamente actual se puede todavia cazar por la ciudad....
puretas vs puertas?
me desdoblo para reagruparme en un ONYX-de-FAST&FURCIO!
14 dias fuera de la gran urbe dan para afilar los dientes y trasteros
tambien para disfrutar de baños-unicos-con-birraRDIENTE!

ahora seguro que toca ceñirse los cinturones y cerrar los garETES
cuando bruno se comio a joyce empezando por los juanETES
eran pocos y parieron mas las abuelas de las ronnETES
cuando jornadas de ESPUERTAS-ABIERTAS EN brunette?

oh oh, que me dice el purETE de pere gimferrer que sin METRICA(esa superjamona pequeñita y maña) no hay poesia....sera (ES)puto fack-bock pues, en sibilinuxinos parox.

FELICES NUEVAS CASITAS!
splash splash

yo he retornado a-la mia, de minarETTE, espinETE y electrodomestiMALETES!
(ahora que traduzca el gordito-simpatico de los simpsons, y....QUE SIGA FLUYENDO EL LIQUIDO ambarETTTTTTTTTTTTTT!

YEEE!

La autorreferencia en la demostración de Gödel (Parte 3)

(A la parte 2 - A la parte 4)

Demostraciones

- Profesor, ¿cuándo llegamos a la autorreferencia?
- Paciencia, ya falta poco.

En el capítulo anterior dijimos que el Programa de Hilbert proponía dar axiomas para la Aritmética y que estos axiomas (así como las reglas de inferencia, que son las que nos dicen qué conclusiones podemos obtener a partir de ciertas hipótesis) debían ser elegidos de modo tal que la corrección de cualquier demostración basada en ellos pudiera ser verificada (desde el nivel de la Metamatemática) mecánicamente en una cantidad finita de pasos (es decir, debía ser posible programar una computadora para que verificara si una demostración es válida o no).

En concreto, las demostraciones que contemplaba el Programa de Hilbert como válidas debían ser traducibles a una sucesión finita de enunciados tales que cada uno de estos, o bien era un axioma, o bien podía deducirse de enunciados previamente ubicados en la sucesión por aplicación de ciertas reglas de inferencia específicas. (1)

Esta idea impone tres características a la formalización de la Aritmética. La primera es que sus enunciados deben poder traducirse a un lenguaje con símbolos bien definidos (requisito necesario para que haya un algoritmo que trabaje sobre esos enunciados -a nivel metamatemático-).

A los efectos de esta serie de entradas, el lenguaje que usaremos constará de los símbolos "+" y ".", la constante 1, a los que agregaremos paréntesis y símbolos para las operaciones lógicas. El lenguaje tendrá también variables, x, y, z,... que sólo podrán representar números naturales (nunca expresarán funciones, conjuntos u otros objetos (2)).

Observemos que la Metamatemática trabaja solamente a nivel sintáctico, por lo que la expresión:

(1 + 1).(1 + 1) = 1 + 1 + 1 + 1

será, a nivel metamatemático, diferente de la expresión:

1 + 1 + 1 + 1 = (1 + 1).(1 + 1)

porque, aunque ambas tienen los mismos símbolos, estos están escritos en diferente orden.

Asumamos que, para su tratamiento metamatemático, todos los enunciados han sido traducidos a este lenguaje formal. Asumamos también que tenemos una secuencia de enunciados y que queremos escribir un programa que verifique si esa secuencia es, o no, una demostración válida. El programa "tomará" entonces un enunciado de la secuencia y deberá verificar si se trata, o no, de un axioma.

La segunda característica es, entonces, que exista un algoritmo que verifique en una cantidad finita de pasos si un enunciado es, o no, un axioma.

Continuando con el proceso que debería seguir ese programa, si un enunciado no es un axioma, el programa debe se capaz de verificar si el enunciado puede deducirse de enunciados anteriores en la sucesión. La tercera característica es, entonces, que la relación "Q se deduce de las hipótesis H1, H2, H3,..." debe ser verificable algorítmicamente.

En realidad, podemos reducirnos a tomar una única regla de inferencia: la llamada Regla del Modus Ponens, que dice que de P y de P ---> Q se deduce Q. (La regla debe ser entendida a nivel sintáctico, sin apelación a posible significados.)

Diremos que una propiedad es recursiva si es verificable algorítmicamente. Podemos decir entonces que el sistema de axiomas y sus reglas de inferencia deben ser ambos recursivos.

Continuará...

Notas:

(1) Éste es el proceso de verificación metamatemática de las demostraciopnes que proponía el Programa de Hilbert. Desde luego, no es el proceso por el que los matemáticos encuentran esas demostraciones.

(2) Toda teoría tiene dos tipos de axiomas: sus axiomas específicos y también los axiomas lógicos, que son generales y comunes a todas las teorías. Estos últimos son enunciados que valen cualquiera sea el universo del discurso considerado (como por ejemplo, "Para todo x, x = x"). Si respetamos las restricciones para el uso de variables entonces es posible dar un sistema de axiomas que respeta las condiciones de Hilbert y que permite deducir todas esas afirmaciones universalmente válidas (esto fue probado por Gödel en 1929). Si admitiéramos variables que representaran funciones, conjuntos, etc. entonces el Programa de Hilbert sería irrealizable al nivel mismo de esta lógica subyacente.

La autorreferencia en la demostración de Gödel (Parte 2)

(A la parte 1 - A la parte 3)

La dialéctica Sintaxis /Semántica

Los teoremas de Gödel, publicados en 1931, forman parte de una larga polémica sobre los Fundamentos de la Matemática que había comenzado en 1872 con el descubrimiento, por parte de Cantor, de los transfinitos, y que se había potenciado a partir de 1902 con el descubrimiento de la Paradoja de Russell.

El campo de batalla de la polémica era nada menos que el infinito. La escuela constructivista, encabezada por L.E.J. Brouwer, sostenía que la introducción del infinito actual en Matemáticas era absurda e injustificada y que la teoría de los transfinitos de Cantor era solamente un juego de palabras sin sentido. Los únicos objetos matemáticos válidos, sostenía esta escuela, son aquellos que se pueden construir mecánicamente en una cantidad finita de pasos. Por ejemplo, para ellos no podía hablarse de la totalidad de los números naturales, sino de una cantidad siempre finita y creciente de números que son calculados uno por uno. Los enunciados que hablan de totalidades infinitas, para los constructivistas carecían de significado.

Hacia 1920 interviene en la polémica David Hilbert quien, en una serie de papers publicados a lo largo de unos diez años, propone el que hoy es conocido como el Programa de Hilbert y que, en esencia, llevaba la exigencia de finitud y de constructividad de los objetos matemáticos a los razonamientos matemáticos.

Con más precisión, Hilbert proponía la creación de una nueva ciencia a la que él llamaba Metamatemática. Esta ciencia tendría como objetivo el verificar la validez de los razonamientos matemáticos. Para evitar polémicas (y para asegurarse de que no surgieran paradojas) esta ciencia sería puramente finitista: la Metamatemática trataría a los enunciados y a los razonamientos matemáticos como si fueran simples secuencias de símbolos sin significado a los que manipularía mecánicamente en una cantidad finita de pasos.

Se ha dicho en algunos textos de divulgación que el Programa de Hilbert proponía reducir la Matemática a un juego de símbolos carente de significado, se ha dicho también que para Hilbert el concepto de "verdad matemática" no existía. Nada más falso. Hilbert, comprendamos, era ante todo un investigador matemático (el mejor de su tiempo) por lo que es imposible, inimaginable, que pudiera pensar así. Esas características las atribuía Hilbert, no a la Matemática, sino a la Metamatemática.

La Matemática trabaja a un nivel semántico, lleno de significados. El matemático, en el día a día, siempre trabaja, crea, conjetura, demuestra y sufre, como si lo que tuviera entre manos fueran objetos reales.

La Metamatemática, según la idea de Hilbert, que trabaja a nivel sintáctico, provee los métodos para verificar si los razonamientos, que el matemático ha obtenido como fruto final de su trabajo creador, son correctos. Para hacer esta verificación los razonamientos serían cargados en una computadora que verificaría si el razonamiento es válido, o no. Hilbert, desde luego, no hablaba de computadoras, pero lo que he dicho en la oración anterior refleja la idea esencial de Hilbert: la validez del razonamiento es verificada mediante manipulaciones mecánicas de símbolos realizadas en una cantidad finita de pasos (la verificación del razonamiento, no su obtención).

En concreto, el Programa de Hilbert proponía dar un conjunto de axiomas para la Aritmética (1) que cumpliera estas cuatro condiciones:

1. El sistema debía ser consistente (es decir, no debía existir un enunciado P tal que P y su negación fueran simultáneamente demostrables).
2. La validez de cualquier demostración debía ser verificable por manipulaciones mecánicas (sintácticas) en una cantidad finita de pasos.
3. Dado cualquier enunciado P, o bien él o bien su negación debía ser demostrable.
4. La consistencia de los axiomas debía ser verificable mecánicamente en una cantidad fnita de pasos.

Nótese que estas condiciones no son matemáticas sino metamatemáticas. Si estas cuatro condiciones pudieran cumplirse entonces la noción de "demostrabilidad" (sintáctica) y de "verdad" (semántica) podrían considerarse equivalentes. Pero los teoremas de Gödel demostraron precisamente que esas cuatro condiciones no se pueden cumplirse a la vez. Si se cumplen 1 y 2 entonces 3 es falsa y 4, si el sistema es razonablemente potente, es irrealizable.

En el próximo capítulo precisaremos qué quiere decir "razonablemente potente" y comenzaremos a analizar la demostración de Gödel.

Continuará...

(1) Nota: La Aritmética es la teoría que habla de la suma y el producto de los números naturales. Hilbert consideraba que era ésta la teoría fundamental de la Matemática (y no la Teoría de Conjuntos).

La autorreferencia en la demostración de Gödel (Parte 1)


¿Qué decimos cuando decimos "Esta oración no es demostrable"?

En estos últimos años, por diversos motivos y en diferentes ámbitos, me ha tocado discutir extensamente la demostración de los teoremas de Gödel. En esas ocasiones he notado que hay ciertas dudas que aparecen recurrentemente en el público y que, tal vez, sean compartidas por algunos de los lectores de este blog.

La intención de esta serie de entradas es tratar de despejar esas dudas. No intentaré desarrollar en detalle las demostraciones de los teoremas de Gödel, sino que haré un bosquejo general poniendo énfasis especial en dos puntos:

1. El llamado Primer Teorema de Incompletitud de Gödel dice que, dado un sistema axiomático para la Aritmética que cumpla ciertas condiciones (que recordaremos más adelante), siempre es posible encontrar una afirmación aritmética que no puede ser demostrada ni refutada a partir de esos axiomas.

Suele decirse (yo mismo lo he dicho en más de una ocasión) que la demostración de este teorema consiste en construir una afirmación aritmética que dice: "Esta oración no es demostrable".

Pero ¿es realmente así? ¿Habla realmente la afirmación de su propia no-demostrabilidad? La respuesta es que la afirmación no habla de sí misma. Más exactamente, veremos que la afirmación puede llegar a considerarse autorreferente solamente si se aceptan ciertas convenciones arbitrarias que son externas al sistema de axiomas.

El segundo punto que trataremos es éste:

2. Tomemos, a modo de ejemplo, los axiomas de Peano (que son axiomas de la Aritmética). Aceptemos que esos axiomas forman un sistema consistente (como, de hecho, suele aceptarse). Del llamado Segundo Teorema de Incompletitud de Gödel se deduce que la afirmación "Los axiomas de Peano son consistentes" no puede demostrarse ni refutarse a partir de esos axiomas.

Ahora bien, si una afirmación P no puede demostrarse ni refutarse a partir de un sistema de axiomas (llamémoslo A) entonces tanto la afirmación P como su negación pueden ser agregadas al sistema A y en ambos casos se obtendrá un sistema consistente. (El ejemplo histórico clásico es tomar A como los primeros cuatro postulados de Euclides y como P, el postulado de las paralelas.)

En particular, esto quiere decir que la afirmación "Los axiomas de Peano no son consistentes" puede agregarse a los axiomas de Peano de modo que el sistema resultante ¡sea consistente!. Ahora... ¿no es raro? ¿Cómo puede ser consistente con los axiomas de Peano la afirmación que niega (falsamente) que esos axiomas sean consistentes? Como veremos, la paradoja es sólo aparente y resulta de una mala interprertación de lo que realmente dice el enunciado aritmético "Los axiomas de Peano no son consistentes".

La tarea está planteada. Sólo falta arremangarse y llevarla a cabo.

Continuará...

Democracia y petróleo

Blog de Jesús Maraña
Diplomacia y petróleo
22 feb 2011

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¿Invertir en petróleo?


No hay nada más cobarde que el dinero. Huye de las incertidumbres a toda velocidad y no soporta conflictos cuya resolución no esté descontada de antemano. El régimen de Gadafi parece haber entrado en descomposición, aunque decidido a morir matando después de más de cuatro décadas en el poder. Al dinero no le ha importado demasiado el reguero de víctimas civiles que van dejando las revueltas en los países árabes, pero se toma muy en serio el riesgo de que se paralice un 2% de la producción mundial de petróleo. El precio del barril de Brent escaló ayer a los niveles más altos de los últimos 30 meses, mientras las bolsas europeas registraban la mayor caída del año. La diplomacia, sólo un poquito menos cobarde que el dinero, habló ayer por boca de la cumbre de ministros de Exteriores de la UE para “condenar” la represión de los manifestantes en Libia y reclamar el “cese inmediato de la violencia y la muerte de civiles”.

El Ejército libio respondió bombardeando algunos barrios de Trípoli y disparando a la multitud con artillería pesada. Pese al bloqueo casi total a los medios informativos, Al Yazira y las redes sociales permiten que el resto del mundo conozca en directo las salvajadas de una dictadura que se resiste a agonizar. Ya que la diplomacia europea se ha empeñado en dar prioridad a los intereses geoestratégicos sobre los derechos humanos, quizás el pánico de los mercados obligue a acelerar el apoyo a los procesos democráticos en marcha.