Gota de vida

El hielo ártico permanente está desapareciendo

Animation by NOAA Climate.gov team, based on research data provided by Mark Tschudi, CCAR, University of Colorado
La desaparición de la masa de hielo ártica se puede observar claramente en la siguiente animación.

Cada invierno, el hielo marino se expande para llenar prácticamente la totalidad de la cuenca del Océano Ártico, llegando a su máxima extensión en marzo. Cada verano, el hielo se contrae, alcanzando su menor extensión en septiembre. El hielo que sobrevive al menos una temporada de deshielo de verano tiende a ser más grueso y tiene más probabilidades de sobrevivir los veranos futuros. Desde la década de 1980, la cantidad de este hielo perenne (a veces llamado de varios años) ha disminuido, según un estudio publicado por la NOAA.
La animación de la NOAA muestra el seguimiento de la cantidad relativa de hielo de diferentes edades, desde 1987 hasta principios de noviembre de 2014. La primera clase de edad en la escala (1, más oscuro azul) significa "hielo de primer año", que se formó en el último invierno. El hielo más antiguo (> 9, blanco) es el hielo de más de nueve años de edad. Las áreas grises oscuras indican aguas abiertas o regiones costeras donde la resolución espacial de los datos es más gruesa que la tierra.
Como muestra la animación, el hielo marino del Ártico aún no se sostiene, se mueve continuamente. Al este de Groenlandia, el estrecho de Fram es una rampa de salida para el hielo del Océano Ártico. La pérdida de hielo a través del estrecho de Fram solía ser compensado por el crecimiento del hielo en el Beaufort Gyre, al noreste de Alaska. Allí, el hielo 'perenne' podía persistir durante años, a la deriva girando alrededor de la cuenca. A principios del s.XXI, sin embargo, el Beaufort Gyre se volvió menos 'amigable' para el hielo perenne. Las aguas cada vez más cálidas hacen que sea menos probable que el hielo pueda sobrevivir a su paso por la parte más meridional del giro.
En 2008, el hielo más antiguo se contrajo en una estrecha franja a lo largo del archipiélago ártico canadiense.

Condiciones Recientes

En septiembre de 2012 hubo más deshielo marino del Ártico que en todos los registros anteriores. En 2013 y 2014 la fusión del hielo fue menos grave. El derretimiento menos extremo proporcionó una oportunidad para la formación de un poco más de hielo de primer año que pudo convertirse en hielo perenne. Entre marzo de 2013 y marzo de 2014 el hielo de primer año se redujo de 78 % al 69%, lo que sugiere que una parte sustancial de hielo marino del Ártico sobrevivió a la fusión del verano de 2013; aumentó el hielo de segundo año de hielo del 8 al 14% y el hielo de cuarto año y el más viejo subió del 7,2 a 10,1%. En general, la cantidad de hielo marino perenne en marzo de 2014 subió lo suficiente para aproximarse a la media de 1981-2010. Si bien el hielo permanente aumentó entre 2013 y 2014, la tendencia a largo plazo sigue siendo a la baja, según los autores del estudio. En 1980, el hielo más antiguo (de cuarto año y más viejo) componían el 26% de la masa de hielo; a partir de marzo de 2014, fue solo el 10%. Y como se puede ser en la animación el hielo más antiguo (de 7-8 años o más) se ha convertido en aún más raro.
La edad de hielo del mar se estima mediante el seguimiento de trozos de hielo utilizando imágenes satelitales y boyas a la deriva en el mar.

Fuente:http://www.climate.gov/news-features/videos/old-ice-arctic-vanishingly-rare

Variaciones sobre una cáscara de banana

(Éste es el resumen de mi charla en el 5to. Encuentro para Celebrar el Ingenio de Martin Gardner y Jaime Poniachik.)

..............
Adenda del 8/11/14: Conjeturo que la suma máxima en el cuadrado de $n\times n$ es aproximadamente igual a $\frac{n^3}{2}$. Predigo en consecuencia que para 8x8 la suma máxima es aproximadamente igual a 256.

Comentario del 4/2/15: Marcos ha encontrado una suma máxima para 8x8 de 258, tal vez mi conjetura no sea tan acertada.

Adenda del 30/1/15: Al final de la entrada he agregado otra solución que me ha hecho llegar Marcos.
..............

En el movimiento cáscara de banana (1) una pieza resbala (hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda) tanto como le sea posible, es decir, hasta que llega al borde del tablero o hasta que choca contra una casilla anulada. En el primer desafío elegimos una casilla inicial cualquiera, colocamos una pieza y marcamos allí un 0 (las casillas donde anotamos números se convierten en anuladas). A continuación, comenzamos a mover la pieza anotando, cada vez, en la casilla de llegada cuál ha sido la distancia recorrida. Por ejemplo:

Así seguimos hasta que la ficha ya no se puede mover. Para tableros de 3x3, 4x4, 5x5,… hay que lograr:

1) Que al trabarse el movimiento, la suma de los números sea la MENOR posible.
2) Que se complete el tablero y que a la vez la suma sea la MENOR posible.
3) Que se complete el tablero y que a la vez la suma sea la MAYOR posible.

Como segundo desafío transformamos este mecanismo en un juego para dos jugadores, digamos Alicia y Bruno. Alicia juega primero y elige una casilla inicial cualquiera (que queda anulada), luego Bruno desplaza la ficha y la casilla final queda igualmente anulada; así siguen hasta que el juego se traba. Quien haya hecho la última jugada, gana. Para tableros de 3x3, 4x4, 5x5,… la pregunta es: ¿Cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora? También podemos preguntarnos qué sucede en la versión de “el último que juega pierde”.

Nota:
(1) No sé si el mecanismo, pero sí su nombre, hasta donde conozco, se debe a Jaime Poniachik. [Según comentó Pablo Milrud en el propio encuentro, el mecanismo "cáscara de banana" -y tal vez también el nombre- serían en realidad creaciones de Iván Skvarca.]

Resumen de las soluciones recibidas hasta ahora (véanse más abajo los detalles):
Para la pregunta 1) la respuesta es 5 independientemente del tamaño del tablero, siempre que sea mayor que 2 (respuesta enviada por Rodolfo Kurchan).

Para las preguntas 2) y 3):
3x3: Mín = 12, Máx = 12. (Rodolfo Kurchan)
4x4: Mín = 23, Máx = 30. (Rodolfo Kurchan)
5x5: Mín = 41, Máx = 61. (Marcos Donnantuoni)
6x6: Mín = 68, Máx = 107. (Marcos Donnantuoni)
7x7: Mín = 99, Máx = 174. (Marcos Donnantuoni)
8x8: Mín = 142. Máx = 258. (Marcos Donnantuoni)

Para el juego de dos, Rodolfo demostró que en tableros de 3x3 y 5x5 gana el primero.

Detalles:
(26/10/14) Pocas horas después del evento, Rodolfo Kurchan envió estas soluciones:
Para la pregunta 1 me parece que para cualquier tablero de lado nxn (salvo 2x2 que es muy chico) se traba con suma 5:

.0.
11.
12.

Ésta es la "punta" de cualquier tablero, va de 0 a 2, al 1 de arriba, al 1 de la izquierda y al 1 de abajo.

Para las preguntas 2 y 3:

3x3 mínimo 12, máximo 12

4x4 mínimo 23, máximo 30

1131        0313

2011        2113

1113        3221 

3211        3113

Para el juego:
Tablero de 3x3 y 5X5 gana el primero

...

.12

453

76...

OX...

891..

453..

..2..

X es la jugada 10 y O es la jugada 11 (si el segundo jugador luego de A5 va para abajo pierde en 7 movidas en lugar de en 11.

(29/10/14) Marcos Donnantuoni envía estas soluciones (aclara que sin garantía de que sean óptimas):

5x5 min

41
← ↑ ↓ → ↑ ← ↓ → ↑ ← ↓ → ← ↑ → ↓ ← ↓ → ↑ → ← ↑ ↓
2 3 1 1 1
1 1 2 2 4
1 0 1 2 1
4 1 1 2 1
1 1 4 1 2

5x5 max
61
↑ ← ↓ → ← → ↑ ↓ ← ↑ → ↓ ← → ↑ ← ↑ → ↓ ↑ ↓ ↑ ← ↓
4 1 1 4 3
2 2 3 1 4
4 1 1 3 1
3 1 2 3 0
4 3 4 2 4

6x6 min
68
→ ↑ ↓ ↑ ← ↑ → ↓ ↑ ← ↑ → ← ↓ → ↑ ← ↓ → ↑ ← ↓ → ← ↓ → ↓ ← ↑ ← ↑ → ↓ ← ↓
1 1 1 2 4 3
5 3 3 1 1 1
1 3 1 1 2 2
1 2 1 3 0 1
5 1 1 1 3 1
1 1 5 1 1 3

6x6 max
107
↓ ← → ↑ ← ↓ → ↑ ← → ↓ ↑ → ↓ ← → ← ↑ → ↓ ↑ ↓ ← ↓ → ↑ ↓ ↑ ↓ → ↑ ← → ← ↑
4 3 5 2 5 0
5 1 3 4 4 3
3 1 2 1 2 1
5 3 2 1 4 1
4 2 4 3 3 5
5 1 1 5 4 5

7x7 min
102
↓ → ← ↑ → ↓ ← ↑ → ↓ ↑ ↓ ← ↓ ↑ ↓ → ↓ ← → ↑ ← ↓ ↑ → ↑ ← ↓ → ← ↑ → ↓ ← ↑ ↓ ↑ → ← ↓ ← ↑ → ↑ ↓ → ← ↑
2 3 6 1 1 6 1
1 1 1 2 4 4 1
2 2 2 1 2 1 2
6 4 1 1 2 1 1
2 1 1 4 1 2 3
1 1 4 3 0 1 5
3 2 1 1 1 1 2

7x7 max
172
← ↓ ↑ → ↓ ← ↑ → ↓ ↑ ↓ ← ↑ → ↓ ↑ ← ↓ → ← ↑ → ↓ ← ↑ → ← ↓ ↑ ↓ ← → ↑ ↓ → ↑ ← ↓ → ← ↑ → ↓ ↑ ↓ ← ↑ ↓
6 6 6 1 2 4 0
5 3 4 5 3 5 6
3 4 1 2 2 2 6
6 1 3 1 2 4 2
1 5 3 1 1 3 6
5 2 1 4 3 4 3

6 5 2 6 5 6 5

(30/1/ 15) 8x8 max

250

→ ↑ ↓ ↑ ↓ ← ↑ → ↓ ↑ ↓ ← → ↑ ← ↓ → ← → ↑ ↓ ↑ ← ↓ → ↑ ← ↓ → ← ↓ ↑ → ↓ ← → ↑ ↓ ← ↑ → ↓ ↑ ← → ↓ → ↑ ← → ← → ↓ ← ↓ → ↑ ↓ ↑ → ← ↓ ←

5 4 4 1 7 6 6 7

4 2 1 6 5 4 6 5

7 5 3 4 2 4 1 2

1 6 2 2 1 2 4 7

3 2 3 1 1 3 5 7

7 5 2 3 3 4 1 4

6 3 1 1 6 5 5 6

0 7 3 7 2 4 7 7

7x7 min
99
1 6 1 1 2 6 1
1 4 4 1 2 4 1
1 3 1 1 1 2 6
2 1 1 3 1 1 3
4 2 2 0 2 3 1
3 1 1 1 1 1 2
1 1 2 2 2 1 4
↓↑←↓→←↑←↓→↓←↑←↓↑→↓←→↑→↓←↑→←↓→↓↑←↓→↑↓↑↓←↑↓←↓↑→↑→↑

7x7 max
174
0 4 2 6 4 6 6
4 5 5 4 2 4 5
6 4 2 2 3 1 2
1 5 1 1 2 1 6
3 4 1 3 3 3 6
6 2 3 5 2 4 4
6 6 6 1 1 5 6
→↓←→↑←↓↑→↓←↑↓→↑←↓→←↓→↑↓←→↑←↓↑→↓→↑←→←↓→↓←↑↓↑↓↑↓←↓

8x8 min
142
1 1 2 3 2 1 3 4
3 1 1 1 1 4 1 1
5 3 2 2 1 1 1 3
3 1 1 0 3 1 2 3
1 2 1 3 2 2 3 7
2 6 1 3 1 1 4 1
1 5 2 1 1 2 2 1
1 7 4 1 2 7 1 2
↑↓↑←↑→←↓←↑→↑←↓←↑↓↑→↑↓←→↑←→↓→←↑↓→↑←↑↓↑→↓→←↑←↓↑→←↓→←↑↓→↑←↓→↑←↓←↓↑

8x8 max
257
0 1 5 7 2 4 7 7
7 5 2 5 6 6 5 6
5 5 1 3 2 4 3 7
3 5 3 1 1 4 1 7
1 6 3 2 1 1 4 7
7 1 3 4 2 3 5 2
7 4 2 6 4 5 6 4
6 3 1 1 7 7 5 7
→↓↑←↓↑→↓←↑→↓←↑→←↓→↑↓↑←↑→↓↑↓←↑→↑←→↓←↑→↓↑←↓→↑←→←↑→↓←↓→↑↓↑↓↑↓↑→↓↑→

8x8 max

258

7 6 5 7 2 4 6 7

6 4 2 5 6 6 6 5

5 2 5 3 1 2 4 6

2 5 2 1 3 4 1 7

7 1 3 1 1 2 6 1

7 4 4 4 1 1 5 4

4 5 3 6 4 3 2 7

6 0 1 1 7 7 7 6

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Axiomas de Peano y consecuencias (5) con algunos comentarios sobre el teorema de Gödel

(Para ver todas las entradas de esta serie hágase clic aquí.)
A la parte 4 - A la parte 6

Nota: desde que publiqué por primera este entrada he ido modificando ligeramente su contenido buscando que converja a lo que quiero expresar.

Desde hace algún tiempo venimos mostrando algunos teoremas que se deducen de los axiomas de Peano. En las entradas previas hemos demostrado, por ejemplo, que la suma de números naturales es asociativa y conmutativa, y que el 0 es su neutro. También probamos que el producto es asociativo y conmutativo, y que el 1 (definido como S(0)) es su neutro. Veremos ahora algunos teoremas más, que tendrán esta vez, además, cierta relación con el teorema de Gödel. Para comenzar, recordemos dos de los axiomas de Peano:

Axioma 1: Para todo n, $S(n)\neq 0$.
Axioma 2: Si S(n) = S(m) entonces n = m.

Veamos ahora un nuevo teorema:

Teorema 13: Si $n\neq 0$ entonces existe m tal que S(m) = n.
Demostración:
El enunciado que queremos demostrar equivale a $\forall n (n=0 \vee \exists m(S(m)=n))$, y este último enunciado se prueba fácilmente por inducción. En efecto, para n = 0 vale, y supuesto que vale para n entonces es claro que también vale para S(n) ya que si n = S(m) entonces S(n) = SS(m).

Teorema 13 bis: Si $n\neq 0$ entonces n se obtiene aplicando al 0 la función S sucesivamente una cantidad finita de veces.
Demostración:
Por inducción. Para n = 0 vale (el antecedente de la implicación es falso). Supuesto que vale para n es inmediato que vale para S(n) ya que si n = SS...S(0) entonces S(n) = SSS...S(0) (una S más).

Teorema 13 ter: Si una afirmación vale para 0, S(0), SS(0), SSS(0), SSSS(0),... entonces la afirmación vale para todo n.
Demostración:
Sea n cualquiera, entonces, por el teorema anterior, o bien n = 0, o bien n = SS...S(0), en cualquiera de los dos casos, por hipótesis, la afirmación vale para n.

¿Cree usted que los tres teoremas son válidos?

Sucede que el enunciado y la demostración del primer teorema respetan las restricciones que impone la lógica de primer orden, mientras que los otros dos no las respetan (se enmarcan en la lógica de segundo orden). ¿Es importante esta distinción? En parte sí, porque el teorema de Gödel sólo vale en teorías basadas en la lógica de primer orden. De hecho, si se acepta la validez del teorema "13 ter" entonces el teorema de Gödel pasa a ser directamente falso (o, si se quiere, es falso si se acepta en la matemática ese tipo de razonamiento). Por así decirlo, la validez del teorema de Gödel termina en la delgada línea que separa el teorema 13 del teorema 13 bis. Vuelvo a preguntar: ¿cree usted que los tres teoremas son válidos?

Una primera conclusión es (o debería ser) que el teorema de Gödel involucra ciertas sutilezas que impiden que sea discutido a la ligera, y que refutan cualquier análisis que no tome en cuenta adecuadamente sus complejidades técnicas.

Por otra pare, yo sí creo que los tres teoremas son válidos, por lo que esta situación me convence (al menos a mí) de que la lógica que usan naturalmente los matemáticos no es (a diferencia de los que los lógicos suelen sostener) la lógica de primer orden, sino la lógica de segundo orden. La "verdadera lógica", digo yo, es la de segundo orden, la otra es una lógica muy apta para ser estudiada, pero no es la que usamos realmente para razonar.

¿Es falso entonces el teorema de Gödel? No, el teorema de Gódel sigue siendo válido en la teorías basadas en la lógica de primer orden, es decir, tiene una aplicación específica que, según yo lo veo, no alcanza a toda la matemática en su conjunto.

5to. Encuentro para celebrar el ingenio de Martin Gardner

¿Verdadero o falso?

"Si un número entero es negativo entonces ese número es positivo."

"Si 3 es negativo entonces 3 es positivo."