Los desastres de la guerra.
Rob-ed Van Persi-cuted. Walsall. la ciudad de Jerome. El hospicio. Los saddlers caen en su campo frente al Leyton Orient. El primer equipo de Cunningham. El último equipo de Cunningham. Rayo Emirates. Los tigers también pierden en casa. London 0 Hull 4. Schalke idem. Comemos con dos burritos. Destino “culto”. El portero tiene caspa. Sterling se gana sus alas. Cerveza y jazz. Erdinger de trigo. Los desgraciados que desgracian nuestros coches. Veltins. Raúl silenciará el Nou Camp. San Bernardus. La casa de Joserra. Carolus V. Teleseries Posibles. Funko&Pelao. Brasileños con sandalias. Lejos del Perú. Diario de Adán y Eva. El metrobús no existe. Los trenes de la muerte. Messa arcaica. Japón arde.
La autorreferencia en la demostración de Gödel (Parte 9 y última)
(A la parte 8)
Todo enunciado aritmético verdadero es demostrable
La intención principal de esta serie de entradas fue despejar algunas "preguntas frecuentes" relativas a los teoremas de Gödel. Por ejemplo: ¿Cómo es posible que un sistema axiomático sea consistente con la afirmación que dice que ese sistema no es consistente? ¿Puede ser demostrable un enunciado falso? Etc.
Como vimos, en los teoremas de Gödel hay tres niveles de análisis del lenguaje. Por un lado está el nivel sintáctico, en el que los símbolos del lenguaje se manipulan sin tomar en cuenta su posible significado (en este nivel se enuncian y demuestran los teoremas de Gödel).
Tenemos después el nivel semántico, en el que los enunciados se entienden como referidos a un cierto universo del discurso. Este universo puede ser el de los números naturales u otro universo más amplio. Este es el nivel en el que los matemáticos se mueven en su trabajo diario y es, en general, el nivel en el que nos sentimos más cómodos.
En el tercer nivel (que en el capítulo anterior di en llamar supra-aritmético), gracias a una codificación arbitrariamente definida, algunos enunciados pueden entenderse como referidos a propiedades metamatemáticas de sí mismos o de otros enunciados. Es sólo en este tercer nivel de análisis donde aparece la autorreferencia o la referencia a la consistencia de un sistema de axiomas.
La mayoría de las confusiones relativas a los teoremas de Gödel nacen de mezclar indebidamente conceptos pertenecientes a niveles diferentes. En efecto es un error mezclarlos porque, por ejemplo, tal como vimos en el capítulo anterior, hay enunciados que son equivalentes en un nivel, pero no equivalentes en otro nivel diferente.
Como dije en un capítulo anterior, la autorreferencia no es esencial para la demostración de los teoremas de Gödel. La interpretación de un enunciado como diciendo "Yo no soy demostrable" solamente ayuda a hacer más aceptable, o más creíble, la prueba de Gödel, pero no forma parte esencial de ella. ¿Por qué se hace tanto hincapié en la autorreferencia, entonces? Porque los matemáticos, créase o no, no son frías máquinas de calcular, sino seres humanos, y las demostraciones (especialmente aquellas que el matemático A hace para que el matemático B se convenza de que lo que está diciendo es cierto) no sólo deben ser correctas, sino también convincentes.
No quiero terminar esta serie de entradas sin antes referirme a otro error frecuente en relación al Primer Teorema de Gödel. Este error aparece, por ejemplo, en la novela El Tío Petros y la Conjetura de Goldbach. El Tío Petros, el protagonista de la novela, es un matemático bastante talentoso que, a una edad relativamente temprana, se obsesiona con la idea de demostrar la Conjetura de Goldbach.
Unos años después de iniciar su empresa, Petros se entera de la noticia de la demostración de Gödel y se plantea la duda de si la Conjetura de Goldbach no será una afirmación indecidible. Petros cree tener el talento suficiente como para encontrar una demostración de la Conjetura, si es que esta demostración existe. Pero ante la posibilidad de que tal vez la Conjetura sea verdadera, pero indemostrable, decide abandonar el intento de probarla y, de hecho, abandona toda investigación matemática.
Ahora bien, en los capítulos anteriores hemos hablado siempre de "demostrable con respecto a cierto sistema de axiomas" o "indecidible con respecto a tal sistema de axiomas". Pero ¿existen afirmaciones indecidible en sentido absoluto? ¿Hay verdades indemostrables? ¿Por qué digo "sistema de axiomas" y no "conjunto de axiomas?
Respondo primero a la segunda pregunta. Cuando hablamos de demostraciones, consistencia, etc. no sólo debemos tener en cuenta a los axiomas de la teoría en cuestión, sino que también debemos tener en cuenta la lógica subyacente y las reglas de inferencia. Hablo de "sistema de axiomas" como equivalente a "conjunto de axiomas + lógica subyacente + reglas de inferencia".
La lógica subyacente está formada los enunciados del lenguaje que son "universalmente válidos". Es decir, enunciados que son verdaderos cualquiera sea la interpretación que se dé a los símbolos del lenguaje. Nótese que esta definición es semántica. Un ejemplo es "P o no-P", donde P es un enunciado cualquiera. Se habla de "lógica subyacente" porque estos enunciados pueden formar parte (y, de hecho, forman parte) de cualquier razonamiento.
Si el lenguaje respeta las restricciones que comentamos en un capítulo anterior, entonces es posible dar un sistema recursivo de axiomas que permita deducir todos los enunciados universalmente válidos expresables en ese lenguaje. Este hecho, que fue probado por Gödel en 1929 (sus teoremas de incompletitud son de 1931), nos habilita a dar una definición sintáctica de la noción de "enunciado universalmente válido": son todos aquellos que se deducen, modus ponens mediante, del sistema de axiomas que Gödel dio en 1929 (o de cualquier otro equivalente a él).
Los lenguajes que respetan las restricciones antes indicadas se llaman lenguajes de primer orden. Se dice, entonces, que la lógica de primer orden es formalizable o que es recursivamente axiomatizable. Como la lógica de primer orden es recursivamente axiomatizable entonces existen chances de que una teoría expresada en un lenguaje así pueda cumplir las condiciones del Programa de HIlbert (la Aritmética no las cumple, eso probó Gödel, pero otras teorías sí pueden cumplirlas).
Aumentemos ahora la potencia del lenguaje mediante el artilugio de agregarle variables que se refieran a enunciados o a fórmulas (una fórmula es una expresión en la que hay "variables libres", que pueden ser reemplazadas por números cualesquiera, como por ejemplo "x es par").
Tenemos ahora un lenguaje de segundo orden, o de orden superior. En este tipo de lenguaje podemos decir, por ejemplo (en un lenguaje de primer orden no se puede expresar el enunciado que sigue):
"a = b si y sólo si para toda fórmula P(x), P(a) es equivalente a P(b)"
En los lenguajes de segundo orden tenemos también el concepto de "enunciados universalmente válidos" (y que constituyen la "lógica subyacente" de las teorías expresadas en esos lenguajes). Sin embargo, se puede probar que es imposible dar un conjunto recursivo de axiomas que permita demostrar todos los enunciados universalmente válidos de segundo orden.
En la lógica de segundo orden, entonces, no hay una definición sintáctica para la lógica subyacente y, por ende, el Programa de Hilbert es de plano irrealizable en teorías expresadas en lenguajes de este tipo.
Toda demostración expresada en un lenguaje de segundo orden es no-finitista, en el sentido de que la lógica subyacente no es definible sintácticamente (y no porque tenga una cantidad infinita de pasos). La regla de inferencia que se usa en las lógicas de segundo orden, y que tampoco es finitista, es la siguiente: "Q se deduce de P si para toda interpretación de los símbolos para la cual P es verdadera resulta que Q también es verdadera".
Ahora bien, si al lenguaje que dimos antes para la Aritmética le agregamos variables para los enunciados y fórmulas (y lo transformamos en un lenguaje de segundo orden) entonces es posible dar un conjunto finito de axiomas (concretamente, los Axiomas de Peano) tal que todo enunciado aritmético verdadero es demostrable a partir de ellos.
Insisto, todo enunciado aritmético verdadero es demostrable a partir de los Axiomas de Peano, si admitimos una lógica de segundo orden. (La teoría tiene indecidibles, pero no son enunciados aritméticos). En particular, si la Conjetura de Goldbach es verdadera entonces es demostrable.
Aunque es imposible prever qué tan difícil será encontrar una demostración de ella, ni tampoco será posible dar un algoritmo que verifique su corrección. De modo que el Tío Petros hizo muy mal en abandobar su búsqueda.
Termina aquí esta serie de entradas. Espero haber resuelto algunas dudas, pero, principalmente, espero haber sembrado dudas nuevas, mejores y más resistentes.
Fin
Aprender a decir "No" sin sentirse culpable ... y Crepas de Frutas para no decir que No al endulzarnos la vida. :)
Muchas personas se caracterizan por ser atentos y estar siempre a disposición de los demás, y esto sin duda puede ser una gran cualidad. Sin embargo ¿Qué sucede cuando nos hacemos esclavos del no saber decir que no?
A la gran mayoría de las personas nos resulta difícil responder a una pregunta, petición o negarnos a hacer algo, muchas veces por temor a que no nos valoren, por respeto o simplemente por compromiso, es decir por considerar que la otra persona no merece una negativa por respuesta.
De esa manera valoramos más la satisfacción de la otra persona, antes que la nuestra y esto es un grave error que cometemos con nosotros mism@s. Debemos entender la necesidad de aprender a respetar y valorar nuestro tiempo antes que el de los demás y que aunque podemos hacer concesiones en determinado momento, nosotros mismos debemor "ir primero".
Aprender a decir “no” no es sencillo. Requiere un saludable grado de autoestima pero también de empatía para decir no, ser justos, valorar nuestro tiempo y nuestras actividades sin ofender a los demás o ignorar las necesidades que tienen.
¿Cómo lo hago? ¡No se por donde empezar!
- Evita toda situación en la que te veas comprometida más allá de tus posibilidades. Por ejemplo, si tienes un trabajo a tiempo completo y te unes a un grupo o aceptas otro trabajo que requiera demasiadas horas diarias de tu tiempo, piensa en si vas a poder asumir las responsabilidades que ello requiere.
- No te dejes chantajear por nadie ni tus padres, ni tu cónyuge, ni tus hij@s pueden obligarte para conseguir que hagas algo.
- Entiende que decir "no" no es sinónimo de maldad, irresponsabilidad o falta de compromiso. Si tienes un fundamente justo, no importa lo que digan los demás, si te perjudica no debes aceptarlo.
- Alguna gente suele ponerse nerviosa o temen decir no de manera tajande, Piensa en alternativas como: “lo pensaré un poco mejor”
- Si recibes demasiada presión mejor di "No" para que no quede espacio para la duda. Házlo de manera diplomática, pausada y se firme en tu respuesta.
- Respeta lo que quieres hacer, tus deseos son importantes. Que te sientas bien contigo mismo y con tus principios y valores es muy importante.
- Bajo ninguna circunstancia no dejes que te griten, golpeen o maltraten por negarte a hacer algo.
- No des explicaciones por tus negativas. Si te las pidiesen y consideras que son necesarias. Se breve y ve al grano.
- Ensaya frente al espejo previamente si sabes que te vas a enfrentar con una situación que requerirá que des un No.
- No justifiques tus decisiones, tus prioridades no necesitan justificación.
- Se agradecid@ antes de decir NO.
Recuerda que si después de decir que NO se daña una relación amorosa, una amistad o cualquier otra clase de vínculo piensa si realmente ese vínculo era sincero y valía la pena. Piensa si esa persona valoraba tus sentimientos, tu forma de ser, tus prioridades y tus valores.
Nadie que te respete y quiera reaccionará con indignación si te niegas a hacer algo, muy por el contrario se ha de sentir orgulloso de que tienes la madurez
emocional de tomar decisiones sabias, y de mantener tu postura valorándote a ti mism@, y valorando a los demás.
ENTONCES LA RECETA DE HOY... CREPAS DE FRUTAS AL VINO Y CHOCOLATE
PARA LA MEZCLA NECESITAS LOS SIGUIENTES INGREDIENTES:
- 1 taza y 1/2 de harina all purpose
- 1 huevo
- 1 taza de leche
- 2 cucharaditas de azucar (yo la prefiero negra, aunque algunas personas la sustituye por 10X o regular)
- 1 cucharada de aceite de canola
- 1 cucharada de mantequilla* (¡no margarina!)
- 1 pizca de sal
Para el relleno necesitas:
- 1/2 tableta de chocolate para derretir (unas 5onzas)
- fruta fresca a gusto
- vino rojo
Las frutas rojas suelen llamarse también frutos del bosque y son fresas, frambuesas, arándanos azules (blueberries), aunque también puedes usar cranberries frescas. Si usas otro tipo de frutas como melocotón o algunas de color amarillo o naranja usa vino espumoso o bien vino blanco). Déjelas reposar con un chorrito de vino en un envase durante una hora.
¿Cómo lo hacemos?
Poner todos los ingredientes de la mezcla de los panqueques (excepto el aceite) en una licuadora y procesar por unos minutos hasta que quede todo incorporado y quede una crema homogénea.
Dejar reposar por unos 15-20 minutos.
Untar una sartén con un poco de aceite y verter una porción de la masa como para formar un panqueque pequeño (rinde para unos 12 pequeños). Dejar unos segundos de cada lado (que se dore ligeramente sin quemarse).
Luego de haber preparado todos los panqueques derretir el chocolate en trocitos con un poco de manteca en una cacerolita.
Servir los pequeños panqueques en un plato (lo mejor es ponerlos en una torre y en el medio distribuir un poco de la fruta fresca formando capas. Para esto usar 4 panqueques). Decorar por encima con el chocolate derretido. Servir caliente o tibio. Disfrutarlo con alguien que quieras mucho... ;)
La autorreferencia en la demostración de Gödel (Parte 8)
(A la parte 7 - A la parte 9)
La Paradoja de Gödel
El Segundo Teorema de Incompletitud de Gödel dice que, si tenemos un sistemas de axiomas como el que les han dado a Kurt y a David, entonces la afirmación de que ese sistema es consistente no puede ser demostrada ni refutada a partir de los axiomas del sistema. Es decir, esa afirmación es indecidible para el sistema.
Una consecuencia de esto es que el sistema de axiomas es consistente con la afirmación que dice ¡que el sistema de axiomas es inconsistente!. Si al sistema le agregamos la afirmación que dice "El sistema es inconsistente" igualmente seguiremos teniendo un sistema que es consistente.. ¿Cómo puede resolverse esta paradoja?
Para comenzar, observemos que nuestro lenguaje solamente permite escribir enunciados aritméticos, entonces ¿cómo puede un enunciado aritmético afirmar que un sistema de axiomas es consistente (o que es inconsistente)?
Un hecho que es fácil de probar en los cursos de Lógica es que si un sistema de axiomas es inconsistente entonces todo enunciado es demostrable a partir de él. Por lo tanto, para decir que un sistema es consistente es suficiente con afirmar que existe algún enunciado que no es demostrable.
Volvamos a la codificación de Kurt. Recordemos que, según ella, los enunciados demostrables (para el sistema de axiomas específico que nos han dado) son exactamente aquellos cuyo código es un número primo que se puede escribir como suma o resta de tres primos consecutivos.
Por lo tanto, según la codificación de Kurt, un modo de afirmar que el sistema es consistente es decir que:
CONS(1): "Existe algún primo que no es suma o resta de tres primos consecutivos."
(El enunciado, como siempre, debe traducirse al lenguaje formal.) Es interesante observar que, según la codificación de David, este enunciado CONS no dice nada acerca de la consistencia o inconsistencia del sistema.
Ahora bien, tomemos un enunciado específico P cualquiera. Si el sistema es inconsistente entonces, por lo dicho más arriba, tanto P como no-P son ambos demostrables. Si el sistema es consistente, en cambio, al menos uno de los dos enunciados (P o su negación) no será demostrable. Es decir, dado el enunciado específico P, el sistema es consistente si y sólo si P o no-P (al menos uno de ambos) no es demostrable.
Supongamos que, según la codificación de Kurt, la negación del enunciado de código 29 sea el enunciado de código 101. Por lo tanto, el siguiente enunciado también nos muestra una forma de afirmar que el sistema es consistente:
CONS(2): "29 o 101, al menos uno de ambos, no puede escribirse como suma o resta de tres primos consecutivos."
Por otra parte, como ya sabemos, el sistema permite demostrar todos los enunciados finitistas verdaderos. En particular, permite demostrar el enunciado "no-(1 + 1 = 1)". Por lo tanto, el sistema es consistente si y sólo si el enunciado "1 + 1 = 1" no es demostrable. Supongamos que a este último enunciado le corresponde, según Kurt, el número 2. Tenemos entonces otra forma de afirmar que el sistema es consistente:
CONS(3): "2 no se puede escribir como suma o resta de tres primos consecutivos."
Tomemos los tres enunciados:
CONS(1): "Existe algún primo que no es suma o resta de tres primos consecutivos."
CONS(2): "29 o 101, al menos uno de ambos, no puede escribirse como suma o resta de tres primos consecutivos."
CONS(3): "2 no se puede escribir como suma o resta de tres primos consecutivos."
¿Estos tres enunciados son equivalentes? Estos quiere decir: ¿tomando a uno cualquiera de ellos como premisa, podemos deducir los otros dos? Sintácticamente, la respuesta es no. El segundo o el tercer enunciado permite deducir el primero, pero del primero no se deduce ninguna de los otos dos. Además, del segundo no se deduce el tercero, ni viceversa.
¿Qué sucede desde el punto de vista semántico? En este caso el universo del discurso debe ser el de los números naturales (ya que estamos pensando en términos de códigos) y es claro que, semánticamente, a nivel aritmético, los enunciados tampoco son equivalentes.
Sin embargo, los tres enunciados equivalen a: "El sistema es consistente" ¡y si los tres equivalen a una misma afirmación entonces son equivalentes entre sí! Vuelvo a preguntar: ¿cómo se resuelve esta paradoja?
La respuesta es la misma que dimos antes al hablar de la autorreferencia. CONS(1), CONS(2) y CONS(3) son enunciados aritméticos. La interpretación de su significado como refiriéndose a la consistencia de un sistema de axiomas es puramente extramatemática (supra-aritmética podríamos decir) y depende de la elección de una codificación específica (elección que es ajena a la Aritmética).
La negación de CONS(1) es (debe traducirse al lenguaje formal): "Todo primo es suma o resta de tres primos consecutivos". El Segundo Teorema de Gödel dice que el sistema de axiomas es consistente con ese enunciado. La consistencia, como ya dijimos, es un concepto sintáctico y la interpretación de no-CONS(1) como "El sistema no es consistente" está en otro nivel de lenguaje (más allá de la Aritmética) por lo que no choca con la noción de consistencia. Ésa es, ni más ni menos, la resolución de la paradoja planteada al principio: la aparente paradoja surge del hecho de mezclar conceptos sintácticos, como la consistencia, con conceptos (permítaseme la palabra) supra-semánticos, como la interpretación de CONS(1) en términos de la consistencia del sistema. (1)
Una pequeña metáfora: usualmente el color rojo significa "peligro" y el verde significa "seguridad". Al mezclarlos obtenemos el color violeta (o algo así). ¿El violeta representa entonces una mezcla entre peligro y seguridad? ¿violeta = seguligro? ¿violeta = peliguro? Es obvio que la pregunta carece de sentido y solamente surge de poner al mismo nivel la mezcla de colores (aspecto físico o sintáctico) con la interpretación que, culturalmente, le damos a esos colores (aspecto supra-cromático). De la misma forma, la paradoja de Gödel surge de mezclar conceptos que están en niveles de análisis muy diferentes.
Continuará...
Nota:
(1) Si nos adentramos en ese nivel supra-semántico y vemos a CONS(1) como la afirmación de que el sistema es consistente, entonces CONS(1) es un enunciado verdadero pero no demostrable en el sistema. Como el sistema permite demostrar todos los enunciados finitistas verdaderos entonces obtenemos la conclusión de que el hecho de que el sistema sea consistente no puede ser verificado mecánicamente en una cantidad finita de pasos. Esto demuestra la imposibilidad de concretar una de las exigencias del Programa de Hilbert: tener un sistema recursivo y completo para la Aritmética cuya consistencia sea verificable algorítmicamente.
La autorreferencia en la demostración de Gödel (Parte 7)
(A la parte 6 - A la parte 8)
¿La afirmación: "La afirmación: "La afirmación: "Esta afirmación no es demostrable" es demostrable" no es demostrable" es demostrable?
Resumen de lo publicado: Kurt y David han elegido sendas codificaciones para los enunciados y para las sucesiones finitas de enunciados escritos en el lenguaje formal. Una vez hecho esto, ambos han recibido un mismo sistema de axiomas aritméticos que es recursivo y consistente y que permite demostrar todos los enunciados finitistas verdaderos. [Como decíamos en el capítulo anterior, vamos a suponer que estamos reproduciendo la demostración de Gödel para un sistema de axiomas específico]
Kurt observa que, para ese sistema de enunciados y según la codificación por él elegida, el conjunto de los códigos de los enunciados demostrables es exactamente el conjunto de todos los primos que se pueden escribir como suma o resta de tres primos consecutivos. [Obviamente, para otros sistemas de axiomas, o para otras codificaciones, la propiedad aritmética que define al conjunto de los códigos de los enunciados demostrables será diferente.]
Finalmente, siguiendo la demostración de Gödel, Kurt ha probado sintácticamente que el enunciado G: "43 es un primo que no se puede escribir como suma o resta de tres primos consecutivos" es indecidible para el sistema de axiomas que le han dado. Es decir, ni G ni su negación son demostrables a partir de esos axiomas.
Tomemos ahora la función g(x) definida de esta manera: g(x) es el x-ésimo número primo. Por ejemplo g(1) = 2, g(2) = 3, g(3) = 5, etc. Admitamos, sin demostración, que la función g(x) es definible mediante el lenguaje formal de la Aritmética. Es decir, que es posible expresar en ese lenguaje formal una propiedad, en función de la variable x, que sólo es cumplida por el x-ésimo primo. Debido a las restricciones del lenguaje formal la construcción de esta definición no es un problema trivial, sin embargo, con algo de ingenio, puede hacerse (1).
El enunciado G de Kurt equivale entonces a:
Ax (no-(43 es primo y 43 = +/- g(x) +/- g(x + 1) +/- g(x + 1 + 1)))
Donde la "A" indica "para todo" y el +/- indica que hay que hacer las ocho combinaciones posibles de sumas y restas entre g(x), g(x + 1) y g(x + 1 + 1).
Llamemos P(x) a la expresión (no-(43 es primo y 43 = +/- g(x) +/- g(x + 1) +/- g(x + 1 + 1))). Entonces, el enunciado G de Kurt tiene la forma AxP(x).
Observemos que P(1) afirma que 43 es un primo que no se puede obtener como suma o resta de los números 2, 3 y 5. Es decir, P(1) es un enunciado finitista verdadero y entonces, por hipótesis, es demostrable a partir del sistema de axiomas dado.
P(1 + 1) afirma que 43 es un primo que no se puede obtener como suma o resta de los números 3, 5 y 7. P(1 + 1) es también un enunciado finitista verdadero y, por lo tanto, es demostrable a partir del sistema dado.
De igual manera, P(1 + 1 + 1), P(1 + 1 + 1 + 1),... son todos demostrables. Sin embargo, G: AxP(x) no es demostrable. Cada instancia individual es demostrable, pero la afirmación general no lo es. En realidad, el enunciado G que construye la demostración de Gödel siempre tiene la forma AxP(x) donde P(1), P(1 + 1),... son todos demostrables, pero AxP(x) no lo es, ni tampoco su negación.
En el caso del enunciado de Kurt. la negación de G dice: "43 no es primo o puede escribirse como suma o resta de tres primos consecutivos" (en realidad la negación de G es una traducción al lenguaje formal de esta afirmación). Ahora bien, como G es indecidible, podemos perfectamente agregar axiomas al sistema original de Kurt de tal modo que el sistema así ampliado, sin dejar de ser recursivo y consistente, permita demostrar no-G. [Una forma simple y directa de lograr esto es agregar como axioma al propio enunciado no-G.]
¡Un momento! Pero no-G es falso... ¿Cómo puede ser demostrable? ¿A la demostración de no-G le corresponde como código un número "no estándar"?
Respondo primero a la segunda pregunta. Como he insistido en decir, la codificación estaba ya definida desde antes de que nos dieran el sistema de axiomas. Esa codificación le asigna a cada sucesión finita de enunciados un número natural "común y corriente". La demostración de no-G a partir del sistema de axiomas ampliado es, en particular, una sucesión finita de enunciados y, como tal, le corresponde como código un número natural. [Si no-G es un axioma, la demostración de no-G consta, como único enunciado, del propio no-G.]
En cuanto a la primera pregunta, ya vimos en un capítulo anterior que el concepto de "demostrable" o "no demostrable" no tiene, en principio, ninguna relación con el de "falso" o "verdadero". No hay contradicción en el hecho de que un enunciado "falso" sea "demostrable" para algún sistema de axiomas, aun siendo éste consistente.
Por otra parte, para calmar la ansiedad semántica, podemos decir que no-G es "falso" solamente si entendemos que se refiere al universo de los números naturales. Según un famoso teorema lógico, si un sistema de axiomas es consistente entonces existe un universo del discurso en el que sus enunciados son "verdaderos". Por lo que no-G es verdadero en algún universo diferente del de los números naturales. [Cuando el sistema dado es el de los axiomas de Peano, a estos universos alternativos se los suele llamar "modelos no estándar" de la Aritmética, de allí la referencia anterior a "números no estándar".] Pero estas son consideraciones semánticas ajenas a la demostración de Gödel. (2)
Continuará...
Notas:
(1) Una restricción importante del lenguaje formal es que no admite "puntos suspensivos". Así por ejemplo, la expresión (la "A" indica "para todo"):
Ax (x = 1 + 1 + ... + 1 (x veces))
no es un enunciado del lenguaje formal. En cambio (la "E" indica "existe"):
Ex (x = 1 + 1 + ... + 1 (10 veces))
aunque, estrictamente hablando, tampoco es un enunciado, sí puede aceptarse como la abreviatura de:
Ex (x = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)
que, definitivamente, sí es un enunciado escrito en el lenguaje formal.
(2) Un pequeño ejemplo: tomemos el enunciado Ex (1 + 1 = (1 + x)(1 - x)). Si consideramos el universo de los números naturales entonces el enunciado es "falso". Pero si a ese universo le agregamos todos los números complejos de la forma a + bi con a y b enteros, entonces, en ese universo así extendido, pasa a ser "verdadero", ya que 2 = (1 + i)(1 - i).
Una idea similar nos ayuda a entender semánticamente por qué puede suceder que P(1), P(2), P(3),... sean todos demostrables sin que AxP(x) lo sea. Puede haber un universo en el que la propiedad P valga para 1, 2, 3, 4,... pero falle en otros números, en números que no se obtienen sumando el 1 sucesivamente.