(Esta entrada es la participación de El Topo Lógico en el Carnaval de Matemáticas.)
Imaginemos el siguiente juego de azar: se le presentan a un jugador n cajas cerradas, cada una de las cuales contiene una bola marcada con un número entre 1 a n (cajas diferentes contienen números diferentes). Las cajas son perfectamente iguales y es imposible determinar por su aspecto el contenido de cada una.
El jugador anota en la tapa de cada caja un número de 1 a n. No es obligatorio que anote números diferentes. Puede, por ejemplo, anotar un 1 en todas las cajas.
Una vez hechas las anotaciones, se destapan las cajas. El jugador se anota entonces un punto por cada caja en la que el número anotado en la tapa coincida con el número de la bola contenida.
Por ejemplo, si el jugador anota un 1 en todas las cajas entonces ganará exactamente un punto.
Preguntas:
1) Si n es par y el jugador anota un 1 en la mitad de las cajas y un 2 en la otra mitad ¿cuál es su ganancia esperada?
2) ¿Cuál es la estrategia óptima para el jugador? Es decir ¿cuál es la estrategia para la cual la ganancia esperada del jugador es la máxima posible?
Paradojas del infinito (II)
Tenemos, por un lado, una recta infinita. Por otro lado tenemos una cantidad infinita de pequeños segmentos. Uno de estos segmentos mide 1/2 cm, otro mide 1/4 cm, otro 1/8 cm. y así sucesivamente. Aunque la cantidad de segmentos es infinita, la suma total de sus longitudes es apenas 1 cm.
Si distribuyéramos los segmentos a lo largo de la recta, la longitud total que cubrirían sería de apenas 1 cm. (o menos todavía, si los segmentos se superponen). La intuición nos dice que, no importa cómo coloquemos los segmentos, inevitablemente quedarán grandes porciones de la recta sin cubrir. Después de todo, estaríamos cubriendo apenas 1 cm. de una recta de longitud infinita.
Imaginemos que hemos colocado, de alguna forma, los infinitos segmentos sobre la recta. Tomemos ahora otro segmento de, digamos, 1 mm. de longitud. Éste será nuestro segmento de prueba.
Si al colocar el segmento de prueba sobre la recta, éste toca a alguno de los infinitos segmentos que colocamos primero, entonces sonará una alarma. Por "tocar" entendemos que haya una parte en común (que no se reduzca a un solo punto) entre alguno de los segmentos iniciales y el segmento de prueba.
La intuición nos dice que, no importa cómo hayamos colocado los segmentos iniciales (que abarcan solamente 1 cm. en una recta de longitud infinita), habrá muchas formas de colocar el segmento de prueba sin que suene la alarma.
Sin embargo... existe una manera de ubicar los segmentos iniciales de tal modo que, no importa cómo se coloque el segmento de prueba, la alarma siempre suene. Es decir, con segmentos que suman en total apenas 1 cm. de longitud es posible cubrir casi totalmente una recta de longitud infinita. Más exactamente, es posible cubrirla de tal modo que no haya en ella ni siquiera una parte de 1 mm. de longitud que quede sin ser tocada por al menos un segmento. Más aún, lo mismo sucedería si en lugar de un segmento de prueba de 1 mm. de longitud hubiéramos elegido uno de 0,000000001 mm., o cualquier otra longitud aún menor (siempre que no fuera cero).
El modo de lograr este prodigo es el siguiente. Es sabido que el conjunto de los números racionales es numerable, es decir, es posible establecer una correspondencia uno-a-uno entre el conjunto de los números racionales y el conjunto formado por 0, 1, 2, 3, 4,... Fijemos una tal correspondencia y llamemos q0 al número racional que se corresponde con el 0, q1 al que se corresponde con el 1, y así sucesivamente. (Es interesante observar que esta correspondencia puede definirse explícitamente, por lo que podríamos decir concretamente quién es q0, quién es q1, etc.)
Transformemos a la recta que teníamos al principio en una recta "numérica". Para ello marquemos dos puntos a 1 cm. de distancia entre sí, a uno de ellos asignémosle el número 0 y al otro, el número 1. De la manera usual quedan asignados todos los números racionales.
Pasemos ahora a ubicar los segmentos:
El segmento de longitud 1/2 cm. debe ser colocado cubriendo el intervalo [q0 - 1/4, q0 + 1/4].
El de longitud 1/4 cm. debe ser colocado cubriendo el intervalo [q1 - 1/8, q1 + 1/8].
El de longitud 1/8 cm. debe ser colocado cubriendo el intervalo [q2 - 1/16, q2 + 1/16].
Y así sucesivamente.
No es difícil probar que esta distribución cumple las condiciones indicadas antes: la suma total de los segmentos es 1 cm., pero no hay ninguna parte de longitud 1 mm. (o menor) que quede sin ser tocada por al menos un segmento. Para demostrar esto último, imaginemos que colocamos nuestro segmento de prueba de modo que coincida con el intervalo [a, b]. Ese intervalo (no importa su longitud, siempre que no sea nula) contiene al menos un número racional qn tal que b > qn > a. Por lo tanto, el segmento de prueba se toca con el segmento centrado en qn.
Si distribuyéramos los segmentos a lo largo de la recta, la longitud total que cubrirían sería de apenas 1 cm. (o menos todavía, si los segmentos se superponen). La intuición nos dice que, no importa cómo coloquemos los segmentos, inevitablemente quedarán grandes porciones de la recta sin cubrir. Después de todo, estaríamos cubriendo apenas 1 cm. de una recta de longitud infinita.
Imaginemos que hemos colocado, de alguna forma, los infinitos segmentos sobre la recta. Tomemos ahora otro segmento de, digamos, 1 mm. de longitud. Éste será nuestro segmento de prueba.
Si al colocar el segmento de prueba sobre la recta, éste toca a alguno de los infinitos segmentos que colocamos primero, entonces sonará una alarma. Por "tocar" entendemos que haya una parte en común (que no se reduzca a un solo punto) entre alguno de los segmentos iniciales y el segmento de prueba.
La intuición nos dice que, no importa cómo hayamos colocado los segmentos iniciales (que abarcan solamente 1 cm. en una recta de longitud infinita), habrá muchas formas de colocar el segmento de prueba sin que suene la alarma.
Sin embargo... existe una manera de ubicar los segmentos iniciales de tal modo que, no importa cómo se coloque el segmento de prueba, la alarma siempre suene. Es decir, con segmentos que suman en total apenas 1 cm. de longitud es posible cubrir casi totalmente una recta de longitud infinita. Más exactamente, es posible cubrirla de tal modo que no haya en ella ni siquiera una parte de 1 mm. de longitud que quede sin ser tocada por al menos un segmento. Más aún, lo mismo sucedería si en lugar de un segmento de prueba de 1 mm. de longitud hubiéramos elegido uno de 0,000000001 mm., o cualquier otra longitud aún menor (siempre que no fuera cero).
El modo de lograr este prodigo es el siguiente. Es sabido que el conjunto de los números racionales es numerable, es decir, es posible establecer una correspondencia uno-a-uno entre el conjunto de los números racionales y el conjunto formado por 0, 1, 2, 3, 4,... Fijemos una tal correspondencia y llamemos q0 al número racional que se corresponde con el 0, q1 al que se corresponde con el 1, y así sucesivamente. (Es interesante observar que esta correspondencia puede definirse explícitamente, por lo que podríamos decir concretamente quién es q0, quién es q1, etc.)
Transformemos a la recta que teníamos al principio en una recta "numérica". Para ello marquemos dos puntos a 1 cm. de distancia entre sí, a uno de ellos asignémosle el número 0 y al otro, el número 1. De la manera usual quedan asignados todos los números racionales.
Pasemos ahora a ubicar los segmentos:
El segmento de longitud 1/2 cm. debe ser colocado cubriendo el intervalo [q0 - 1/4, q0 + 1/4].
El de longitud 1/4 cm. debe ser colocado cubriendo el intervalo [q1 - 1/8, q1 + 1/8].
El de longitud 1/8 cm. debe ser colocado cubriendo el intervalo [q2 - 1/16, q2 + 1/16].
Y así sucesivamente.
No es difícil probar que esta distribución cumple las condiciones indicadas antes: la suma total de los segmentos es 1 cm., pero no hay ninguna parte de longitud 1 mm. (o menor) que quede sin ser tocada por al menos un segmento. Para demostrar esto último, imaginemos que colocamos nuestro segmento de prueba de modo que coincida con el intervalo [a, b]. Ese intervalo (no importa su longitud, siempre que no sea nula) contiene al menos un número racional qn tal que b > qn > a. Por lo tanto, el segmento de prueba se toca con el segmento centrado en qn.
La Paradoja de Banach-Tarski (Cap. 2)
(Para ver los sucesivos capítulos de esta saga haga clic sobre la etiqueta Banach-Tarski.)
Cortar y Pegar
En este capítulo vamos a estudiar un problema de "corte y confección". La intención es comenzar a aproximarnos a una correcta interpretación del Teorema de Banach-Tarski.
Es problema dice así: ¿Es posible dividir un cuadrado en una cantidad finita de partes de tal modo que con éstas sea posible ensamblar un triángulo isósceles? (A las partes resultantes de la división se les puede aplicar rotaciones, traslaciones y simetrías, es decir, movimientos que no las deformen.)
En realidad hay dos maneras de entender este problema, las que podríamos llamar, por una lado, la interpretación concreta o física y, por el otro, la interpretación abstracta o matemática.
La interpretación concreta es la que seguramente casi todos adoptarían si intentaran resolver el problema. En esta interpretación pensamos al cuadrado como si fuera un objeto físico, un cuadrado de papel, por ejemplo, que tenemos que cortar con una tijera. Con las partes resultantes, cual si fueran piezas de un rompecabezas, debemos armar un triángulo iósceles.
Como se ve en el dibujo siguiente, el problema así interpretado se resuelve fácilmente. Sólo debemos cortar el cuadrado por una de sus diagonales.
En la interpretación abstracta vemos al cuadrado como un conjunto de puntos del plano. Dividir el cuadrado en partes equivale, en este caso, a establecer aquello que en la Teoría de Conjuntos se llama una partición del conjunto. Es decir, dividimos el cuadrado en subconjuntos de tal modo que cada punto pertenezca a uno y sólo uno de los subconjuntos de la partición.
Cortar y Pegar
En este capítulo vamos a estudiar un problema de "corte y confección". La intención es comenzar a aproximarnos a una correcta interpretación del Teorema de Banach-Tarski.
Es problema dice así: ¿Es posible dividir un cuadrado en una cantidad finita de partes de tal modo que con éstas sea posible ensamblar un triángulo isósceles? (A las partes resultantes de la división se les puede aplicar rotaciones, traslaciones y simetrías, es decir, movimientos que no las deformen.)
En realidad hay dos maneras de entender este problema, las que podríamos llamar, por una lado, la interpretación concreta o física y, por el otro, la interpretación abstracta o matemática.
La interpretación concreta es la que seguramente casi todos adoptarían si intentaran resolver el problema. En esta interpretación pensamos al cuadrado como si fuera un objeto físico, un cuadrado de papel, por ejemplo, que tenemos que cortar con una tijera. Con las partes resultantes, cual si fueran piezas de un rompecabezas, debemos armar un triángulo iósceles.
Como se ve en el dibujo siguiente, el problema así interpretado se resuelve fácilmente. Sólo debemos cortar el cuadrado por una de sus diagonales.
En la interpretación abstracta vemos al cuadrado como un conjunto de puntos del plano. Dividir el cuadrado en partes equivale, en este caso, a establecer aquello que en la Teoría de Conjuntos se llama una partición del conjunto. Es decir, dividimos el cuadrado en subconjuntos de tal modo que cada punto pertenezca a uno y sólo uno de los subconjuntos de la partición.Intentemos, para esta interpretación, la misma solución de antes. Dividimos el cuadrado por la diagonal, pero en este caso cada punto de esa diagonal sólo puede estar en uno de los dos triángulos resultantes. En la solución física había una duplicación: cada punto de la diagonal aparecía en ambos catetos de los triángulos resultantes de la división.
En el paso 2 del dibujo vemos que la hipoptenusa del triángulos inferior no está marcada de color negro. Esto indica que a ese triángulo "le falta" su hipotenusa (y por lo tanto, la figura en realidad no es un triángulo, ya que entendemos que un triángulo debe incluir todos sus lados).
Al ensamblar las piezas debemos tener la precaución inversa: cada punto de la figura final debe provenir de uno y sólo uno de los puntos de las piezas reunidas. Al intentar reunir los dos triángulos (véase el paso 3 en el dibujo siguiente) los catetos no pueden superponerse pues habría una duplicación.
"Cortamos" entonces el cateto de uno de los triángulos y lo separamos como una pieza más (paso 4). Reunimos entonces los dos triángulos (paso 5), pero la figura resultante todavía no es un triángulo completo, ya que le falta un lado. Podemos intentar completarlo con el segmento antes separado (paso 6), pero, Pitágoras mediante, ese lado es más corto que el segmento faltante, por lo que la figura final todavía queda incompleta (no es en realidad un triángulo).
En definitiva, según la interpretación abstracta, no hemos podido resolver el problema ya que no logramos armar un triángulo isósceles completo.
¿Es posible resolver el problema según la interpretación abstracta? Dejo la pregunta para los lectores.
Me interesa destacar aquí que el intento de solución según la interpretación abstracta nos ha mostrado una división en partes que es irrealizable en la práctica. El paso 4 (y, de hecho, también el paso 2) son imposibles en la realidad física ya que no existe en el mundo físico el equivalente exacto de un segmento matemático. Existen varillas delgadas, líneas en el papel y otros objetos que podemos imaginar como cercanos a un segmento, pero que de ninguna manera lo son, ya que en todos los casos se trata de cuerpos físicos tridimensionales formados por una cantidad finita de átomos.
Como ya se adivina, el Teorema de Banach-Tarski (que dice que una esfera se puede dividir en cinco partes que, a su vez, permiten ensamblar dos esferas iguales a la original) se refiere a una división abstracta o matemática irrealizable en la práctica.
(Continuará...)
El gol más hermoso del mundo
Nunca he sido un goleador, jugando al fútbol. Siempre he bregado en puestos defensivos, normalmente en algunos de los puestos laterales, pues aunque soy bastante alto siempre he jugado con algún mostrenco que podía ocupar la posición de central. Y casi todos los goles que he marcado han sido bastante feos, exceptuando uno que metí de cabeza cuando era joven.
Por eso cuando este fin de semana el Real Madrid ganó en La Coruña tras 19 años de sequía y gracias a la genialidad de Guti con los tacones volví a recordar no ya un gol mío sino el gol más hermoso que he visto en un campo de fútbol. Y no se trató de aquel gol que marcó Raul en el Vicente Calderón después de regatearse a toda la defensa colchonera. Ese gol no tuvo importancia. Me refiero al gol de Onésimo contra el Mallorca en la promoción de ascenso a Primera 1996, aquella eliminatoria que enfrentó según la prensa mallorquina a la isla más rica de Europa contra el barrio más pobre de Madrid.
El Mallorca llevaba 18 partidos sin perder. Había ganado en el partido de ida 1-0. En Vallecas, aquella tarde de junio de 1996 se había adelantado el Rayo con gol de Guilherme, nivelando la eliminatoria, pero en el 24 nuestro portero nigeriano Wilfred Agbonavbare fue expulsado por tocar el balón con la mano fuera del área. Y 5 minutos más tarde el Torito Aquino, un futbolista argentino determinante en el esquema del Rayo, resultó lesionado. Se necesitaba un gol más para seguir en primera, y se tendría que lograr en inferioridad numérica. En el minuto 65 el mallorquinista Maqueda estrellaba el balón contra el larguero, tras superar por alto una salida alocada del guardameta Abel.
Pero llegó el momento para la genialidad. Se estaba agotando el tiempo del partido. A falta de 9 minutos un pase de 50 metros del gaditano Antonio Calderón, y Onésimo Sánchez, que se va por la izquierda y tras dejar botar la pelota y de un solo toque con su pie derecho conecta una suave vaselina que se cuela en la portería del desesperado Mallorca. A los dos (Calderón y Onésimo) me los encontré aquella misma noche mientras festejábamos la victoria y la permanencia en la máxima categoría, no en la fuente de la Asamblea como se hace ahora, sino en la fuente de Atocha (Glorieta de Carlos V), la primera fuente en el Paseo del Prado, antes de llegar a la colchonera Neptuno y a la merengue Cibeles.
Es curioso contemplar como el Chincheta, el máximo exponente del fútbol de Salón, el ser humano que mejor he visto regatear en el mundo entero, marca su mejor gol en una jugada en la que solo conectó una vez su pie derecho con el balón. Lo habitual era verle regatear una y otra vez a la defensa contraria, con el balón soldado a sus pies.
En el día de hoy ha pasado a entrenar al Real Valladolid tras el cese de Mendilíbar. Mucha suerte para un jugador que le dio mucha gloria al Rayo, aquella calurosa tarde de julio.
Para recordar ese día, consultad como lo contó ABC y el Mundo Deportivo (ambos de forma muy sosa).
Por eso cuando este fin de semana el Real Madrid ganó en La Coruña tras 19 años de sequía y gracias a la genialidad de Guti con los tacones volví a recordar no ya un gol mío sino el gol más hermoso que he visto en un campo de fútbol. Y no se trató de aquel gol que marcó Raul en el Vicente Calderón después de regatearse a toda la defensa colchonera. Ese gol no tuvo importancia. Me refiero al gol de Onésimo contra el Mallorca en la promoción de ascenso a Primera 1996, aquella eliminatoria que enfrentó según la prensa mallorquina a la isla más rica de Europa contra el barrio más pobre de Madrid.
El Mallorca llevaba 18 partidos sin perder. Había ganado en el partido de ida 1-0. En Vallecas, aquella tarde de junio de 1996 se había adelantado el Rayo con gol de Guilherme, nivelando la eliminatoria, pero en el 24 nuestro portero nigeriano Wilfred Agbonavbare fue expulsado por tocar el balón con la mano fuera del área. Y 5 minutos más tarde el Torito Aquino, un futbolista argentino determinante en el esquema del Rayo, resultó lesionado. Se necesitaba un gol más para seguir en primera, y se tendría que lograr en inferioridad numérica. En el minuto 65 el mallorquinista Maqueda estrellaba el balón contra el larguero, tras superar por alto una salida alocada del guardameta Abel.
Pero llegó el momento para la genialidad. Se estaba agotando el tiempo del partido. A falta de 9 minutos un pase de 50 metros del gaditano Antonio Calderón, y Onésimo Sánchez, que se va por la izquierda y tras dejar botar la pelota y de un solo toque con su pie derecho conecta una suave vaselina que se cuela en la portería del desesperado Mallorca. A los dos (Calderón y Onésimo) me los encontré aquella misma noche mientras festejábamos la victoria y la permanencia en la máxima categoría, no en la fuente de la Asamblea como se hace ahora, sino en la fuente de Atocha (Glorieta de Carlos V), la primera fuente en el Paseo del Prado, antes de llegar a la colchonera Neptuno y a la merengue Cibeles.
Es curioso contemplar como el Chincheta, el máximo exponente del fútbol de Salón, el ser humano que mejor he visto regatear en el mundo entero, marca su mejor gol en una jugada en la que solo conectó una vez su pie derecho con el balón. Lo habitual era verle regatear una y otra vez a la defensa contraria, con el balón soldado a sus pies.
En el día de hoy ha pasado a entrenar al Real Valladolid tras el cese de Mendilíbar. Mucha suerte para un jugador que le dio mucha gloria al Rayo, aquella calurosa tarde de julio.
Para recordar ese día, consultad como lo contó ABC y el Mundo Deportivo (ambos de forma muy sosa).
ACTUALIZADO:
Los dos primeros goles de este video son los de Guilherme y Onésimo en aquella tarde inolvidable. Minuto 81, estábamos desahuciados y entre Calderón y el Chincheta nos sacaron del hoyo.
La Paradoja de Banach-Tarski (Cap. 1)
(Para ver los sucesivos capítulos de esta saga haga clic sobre la etiqueta Banach-Tarski.)
Introducción
Hace algún tiempo (véase aquí) escribí en este mismo blog una entrada en la que comentaba que la palabra paradoja suele usarse en muchos y diversos sentidos (no equivalentes, e incluso contradictorios, entre sí). Uno de estos muchos significados podría resumirse de esta manera: hecho matemático perfectamente válido, pero totalmente contrario a nuestra intuición (por así decirlo, un hecho que la intuición nos dice que debería ser falso, pero que la razón matemática demuestra, en cambio, que es verdadero). Por ejemplo, la palabra paradoja es usada con esta acepción cuando se habla de la llamada Paradoja de Banach-Tarski.
Se le da el nombre de Paradoja de Banach-Tarski a un teorema totalmente válido, que fue correctamente demostrado en los primeros años del siglo XX por los matemáticos polacos Stephan Banach y Alfred Tarski, pero cuyo enunciado es, por decir poco, muy sorprendente.
El teorema dice así: cualquier esfera maciza puede cortarse en cinco partes que, al ser rotadas y trasladadas convenientemente (sin deformarlas), permiten ensamblar dos esferas macizas cada una de ellas iguales a la esfera inicial.
¡La duplicación de la esfera! Cortamos una esfera en cinco partes y con ellas armamos dos esferas iguales a la inicial. Sin agregar materia hemos duplicado el volumen que teníamos inicialmente.
Dejemos volar la imaginación: tomemos una pequeña esfera de oro, apliquemos el proceso de duplicación de Banach-Tarski y tendremos (sin agregar oro adicional) dos esferas de oro iguales a la inicial. Apliquemos el proceso a cada una de estas dos esferas y tendremos cuatro, y luego ocho, y luego... Al cabo de unos cuantos pasos estaremos literalmente nadando en oro. O podemos hacerlo con una esfera de pan y así terminaríamos con el hambre en el mundo.
¿Es esto posible? ¿Podemos duplicar el oro o el pan? Obviamente no, pero el teorema dice que sí podemos. ¿Cómo se explica esa discrepancia? La idea de esta saga es estudiar precisamente estas cuestiones. No sé si llegaremos a ver la demostración del teorema en sí, pero sí me interesa analizar qué es exactamente lo que en verdad dice el teorema y por qué, a pesar de que es verdadero matemáticamente, no es aplicable a esferas físicas de oro o de pan.
En última instancia, se trata también de internarnos un poco en la espinosa cuestión de la relación entre la Matemática y la Física.
(Continuará...)
Introducción
Hace algún tiempo (véase aquí) escribí en este mismo blog una entrada en la que comentaba que la palabra paradoja suele usarse en muchos y diversos sentidos (no equivalentes, e incluso contradictorios, entre sí). Uno de estos muchos significados podría resumirse de esta manera: hecho matemático perfectamente válido, pero totalmente contrario a nuestra intuición (por así decirlo, un hecho que la intuición nos dice que debería ser falso, pero que la razón matemática demuestra, en cambio, que es verdadero). Por ejemplo, la palabra paradoja es usada con esta acepción cuando se habla de la llamada Paradoja de Banach-Tarski.
Se le da el nombre de Paradoja de Banach-Tarski a un teorema totalmente válido, que fue correctamente demostrado en los primeros años del siglo XX por los matemáticos polacos Stephan Banach y Alfred Tarski, pero cuyo enunciado es, por decir poco, muy sorprendente.
El teorema dice así: cualquier esfera maciza puede cortarse en cinco partes que, al ser rotadas y trasladadas convenientemente (sin deformarlas), permiten ensamblar dos esferas macizas cada una de ellas iguales a la esfera inicial.
¡La duplicación de la esfera! Cortamos una esfera en cinco partes y con ellas armamos dos esferas iguales a la inicial. Sin agregar materia hemos duplicado el volumen que teníamos inicialmente.
Dejemos volar la imaginación: tomemos una pequeña esfera de oro, apliquemos el proceso de duplicación de Banach-Tarski y tendremos (sin agregar oro adicional) dos esferas de oro iguales a la inicial. Apliquemos el proceso a cada una de estas dos esferas y tendremos cuatro, y luego ocho, y luego... Al cabo de unos cuantos pasos estaremos literalmente nadando en oro. O podemos hacerlo con una esfera de pan y así terminaríamos con el hambre en el mundo.
¿Es esto posible? ¿Podemos duplicar el oro o el pan? Obviamente no, pero el teorema dice que sí podemos. ¿Cómo se explica esa discrepancia? La idea de esta saga es estudiar precisamente estas cuestiones. No sé si llegaremos a ver la demostración del teorema en sí, pero sí me interesa analizar qué es exactamente lo que en verdad dice el teorema y por qué, a pesar de que es verdadero matemáticamente, no es aplicable a esferas físicas de oro o de pan.
En última instancia, se trata también de internarnos un poco en la espinosa cuestión de la relación entre la Matemática y la Física.
(Continuará...)