Cortar y Pegar
En este capítulo vamos a estudiar un problema de "corte y confección". La intención es comenzar a aproximarnos a una correcta interpretación del Teorema de Banach-Tarski.
Es problema dice así: ¿Es posible dividir un cuadrado en una cantidad finita de partes de tal modo que con éstas sea posible ensamblar un triángulo isósceles? (A las partes resultantes de la división se les puede aplicar rotaciones, traslaciones y simetrías, es decir, movimientos que no las deformen.)
En realidad hay dos maneras de entender este problema, las que podríamos llamar, por una lado, la interpretación concreta o física y, por el otro, la interpretación abstracta o matemática.
La interpretación concreta es la que seguramente casi todos adoptarían si intentaran resolver el problema. En esta interpretación pensamos al cuadrado como si fuera un objeto físico, un cuadrado de papel, por ejemplo, que tenemos que cortar con una tijera. Con las partes resultantes, cual si fueran piezas de un rompecabezas, debemos armar un triángulo iósceles.
Como se ve en el dibujo siguiente, el problema así interpretado se resuelve fácilmente. Sólo debemos cortar el cuadrado por una de sus diagonales.
En la interpretación abstracta vemos al cuadrado como un conjunto de puntos del plano. Dividir el cuadrado en partes equivale, en este caso, a establecer aquello que en la Teoría de Conjuntos se llama una partición del conjunto. Es decir, dividimos el cuadrado en subconjuntos de tal modo que cada punto pertenezca a uno y sólo uno de los subconjuntos de la partición.Intentemos, para esta interpretación, la misma solución de antes. Dividimos el cuadrado por la diagonal, pero en este caso cada punto de esa diagonal sólo puede estar en uno de los dos triángulos resultantes. En la solución física había una duplicación: cada punto de la diagonal aparecía en ambos catetos de los triángulos resultantes de la división.
En el paso 2 del dibujo vemos que la hipoptenusa del triángulos inferior no está marcada de color negro. Esto indica que a ese triángulo "le falta" su hipotenusa (y por lo tanto, la figura en realidad no es un triángulo, ya que entendemos que un triángulo debe incluir todos sus lados).
Al ensamblar las piezas debemos tener la precaución inversa: cada punto de la figura final debe provenir de uno y sólo uno de los puntos de las piezas reunidas. Al intentar reunir los dos triángulos (véase el paso 3 en el dibujo siguiente) los catetos no pueden superponerse pues habría una duplicación.
"Cortamos" entonces el cateto de uno de los triángulos y lo separamos como una pieza más (paso 4). Reunimos entonces los dos triángulos (paso 5), pero la figura resultante todavía no es un triángulo completo, ya que le falta un lado. Podemos intentar completarlo con el segmento antes separado (paso 6), pero, Pitágoras mediante, ese lado es más corto que el segmento faltante, por lo que la figura final todavía queda incompleta (no es en realidad un triángulo).
En definitiva, según la interpretación abstracta, no hemos podido resolver el problema ya que no logramos armar un triángulo isósceles completo.
¿Es posible resolver el problema según la interpretación abstracta? Dejo la pregunta para los lectores.
Me interesa destacar aquí que el intento de solución según la interpretación abstracta nos ha mostrado una división en partes que es irrealizable en la práctica. El paso 4 (y, de hecho, también el paso 2) son imposibles en la realidad física ya que no existe en el mundo físico el equivalente exacto de un segmento matemático. Existen varillas delgadas, líneas en el papel y otros objetos que podemos imaginar como cercanos a un segmento, pero que de ninguna manera lo son, ya que en todos los casos se trata de cuerpos físicos tridimensionales formados por una cantidad finita de átomos.
Como ya se adivina, el Teorema de Banach-Tarski (que dice que una esfera se puede dividir en cinco partes que, a su vez, permiten ensamblar dos esferas iguales a la original) se refiere a una división abstracta o matemática irrealizable en la práctica.
(Continuará...)
