Tenemos, por un lado, una recta infinita. Por otro lado tenemos una cantidad infinita de pequeños segmentos. Uno de estos segmentos mide 1/2 cm, otro mide 1/4 cm, otro 1/8 cm. y así sucesivamente. Aunque la cantidad de segmentos es infinita, la suma total de sus longitudes es apenas 1 cm.
Si distribuyéramos los segmentos a lo largo de la recta, la longitud total que cubrirían sería de apenas 1 cm. (o menos todavía, si los segmentos se superponen). La intuición nos dice que, no importa cómo coloquemos los segmentos, inevitablemente quedarán grandes porciones de la recta sin cubrir. Después de todo, estaríamos cubriendo apenas 1 cm. de una recta de longitud infinita.
Imaginemos que hemos colocado, de alguna forma, los infinitos segmentos sobre la recta. Tomemos ahora otro segmento de, digamos, 1 mm. de longitud. Éste será nuestro segmento de prueba.
Si al colocar el segmento de prueba sobre la recta, éste toca a alguno de los infinitos segmentos que colocamos primero, entonces sonará una alarma. Por "tocar" entendemos que haya una parte en común (que no se reduzca a un solo punto) entre alguno de los segmentos iniciales y el segmento de prueba.
La intuición nos dice que, no importa cómo hayamos colocado los segmentos iniciales (que abarcan solamente 1 cm. en una recta de longitud infinita), habrá muchas formas de colocar el segmento de prueba sin que suene la alarma.
Sin embargo... existe una manera de ubicar los segmentos iniciales de tal modo que, no importa cómo se coloque el segmento de prueba, la alarma siempre suene. Es decir, con segmentos que suman en total apenas 1 cm. de longitud es posible cubrir casi totalmente una recta de longitud infinita. Más exactamente, es posible cubrirla de tal modo que no haya en ella ni siquiera una parte de 1 mm. de longitud que quede sin ser tocada por al menos un segmento. Más aún, lo mismo sucedería si en lugar de un segmento de prueba de 1 mm. de longitud hubiéramos elegido uno de 0,000000001 mm., o cualquier otra longitud aún menor (siempre que no fuera cero).
El modo de lograr este prodigo es el siguiente. Es sabido que el conjunto de los números racionales es numerable, es decir, es posible establecer una correspondencia uno-a-uno entre el conjunto de los números racionales y el conjunto formado por 0, 1, 2, 3, 4,... Fijemos una tal correspondencia y llamemos q0 al número racional que se corresponde con el 0, q1 al que se corresponde con el 1, y así sucesivamente. (Es interesante observar que esta correspondencia puede definirse explícitamente, por lo que podríamos decir concretamente quién es q0, quién es q1, etc.)
Transformemos a la recta que teníamos al principio en una recta "numérica". Para ello marquemos dos puntos a 1 cm. de distancia entre sí, a uno de ellos asignémosle el número 0 y al otro, el número 1. De la manera usual quedan asignados todos los números racionales.
Pasemos ahora a ubicar los segmentos:
El segmento de longitud 1/2 cm. debe ser colocado cubriendo el intervalo [q0 - 1/4, q0 + 1/4].
El de longitud 1/4 cm. debe ser colocado cubriendo el intervalo [q1 - 1/8, q1 + 1/8].
El de longitud 1/8 cm. debe ser colocado cubriendo el intervalo [q2 - 1/16, q2 + 1/16].
Y así sucesivamente.
No es difícil probar que esta distribución cumple las condiciones indicadas antes: la suma total de los segmentos es 1 cm., pero no hay ninguna parte de longitud 1 mm. (o menor) que quede sin ser tocada por al menos un segmento. Para demostrar esto último, imaginemos que colocamos nuestro segmento de prueba de modo que coincida con el intervalo [a, b]. Ese intervalo (no importa su longitud, siempre que no sea nula) contiene al menos un número racional qn tal que b > qn > a. Por lo tanto, el segmento de prueba se toca con el segmento centrado en qn.
