La coincidencia me lleva a una meditación final sobre el periodismo y una definición conclusiva, una más, de lo que es una noticia: Pandora tiene una caja y contar lo que hay dentro es lo que deben hacer los periodistas.”
Esta cita del artículo de Lluís, me retrae a la lectura de S. Freud en: The Meaning of History and Religion in Freud's Thought (1915). En estas 18 paginas Freud se retrae al pasado o “caja de pandora” como aquellos remanentes kairoticos, tiempo, pasado en base a dos paradigmas enraizadas psiquícamente en la humanidad: Guerra + Religión desde su nacimiento. De manera, que si el periodista, escritor, historiador se dan el trabajo de abrir cajas de pandoras atestadas de guerras, ¿lo hacen a resolución de facilitar qué cosa?
Mi impresión sobre esta pregunta es lo siguiente:
1. Los periodistas, escritores, historiadores llevan consigo tremendas tijeras para hacer recortes según dictados sociales, políticos y prejuicios del investigador.
2. El investigador de pandoras no cuenta toda la historia, porque no puede saber la verdad de como el evento aconteció en su momento historico ni las fuerza que motivaron el asunto. Por tanto lo único que hace el periodista de pandoras es zurcir el calcentín para que no se vean los oyos que lo originaron. En otras palabras, no queda otra que inventar la realidad con lo que permite la abstracción intelectual, creatividad, y sentir poético del que escribe y abre cajas de pandoras.
3. La historia de los eventos a medio terminar como lo deja claro, el artículo de Lluís, obliga al forjador de pandoras a terminar la historia (los calcetines zurcidos) que no se pudo terminar cuando acaeció el evento, eso se conoce como “resolución final, otros le llaman “final poético”, así, las guerras, dictaduras, genocidios, catastrofes naturales deben ser cerradas, clausuradas y nunca mirar atrás, pero eso nunca ocurre porque no es cosa de re-escribirlas ya que éstas están enraizadas en la conciencia psíquica del humano (kairos), por tanto darle vueltas para encontrarle las cinco patas al gato no recae en la responsabilidad del periodismo, historiador o escritor, sino en el tiempo kairotico que es lo que cura y desaparece todo vestigio trágico del pasado. Esto último, es la transgresión del tiempo en la producción humana, o lo que la epistemología de las ciencias llama: Mito/s.
4. ¿Pero que es un mito? Un mito es como una cebolla hecha de cientos de capitas o telillas que se van acumulando con el pasar del tiempo (kairos), ese pasar del tiempo es la produccion de zurcimientos de calcetas que hace el forjador de pandoras y para llegar a la semilla interior de la cebolla habría que rajarla para llegar a ella, es decir, tocar el inconsciente humano que motiva las guerras, la religiones, los genocidios y descarne humano, asi mismo como los crímenes individuales, tal cual como el viejo Freud lo explica.
¿Qué les parece...? Abrimos cajas de pandoras o nos dedicamos al zurcido? Ustedes diran...
Aquí hay otra cajita, desde que tengo conocimiento esto se viene zurciendo...
Time’s Up
http://www.nytimes.com/2010/02/10/opinion/10wed2.html
Publicado por: Gaze | 10/02/2010 19:10:42
Las armas nucleares confunden un poco. La primera generación fue basada en U-235 y en Pu-239 (basada en fisión de átomos,) y la segunda en una mezcla de H-2 y H-3, la famosa bomba de hidrógeno (basada en fusión de átomos.) Nuevas generaciones de bombas híbridas que usan diferentes materiales para incrementar la potencia y la eficiencia (material reaccionado/total de material), y reducir el tamaño y masa. En el principio las armas nucleares eran todas estratégicas, diseñada para amedrentar al potencial enemigo y así prevenir un ataque. Ahora existen las tácticas desarrolladas durante la Guerra Fría. Estas se llegaron a producir lo suficientemente pequeñas como para ser disparadas por piezas de artillería de campo, y fueron desarrolladas para contrarrestar la superioridad soviética en equipo blindado.
En el teatro de guerra europeo la OTAN no disponía de terreno para defensa en profundo (varias líneas defensivas capaces de primero frenar el avance del enemigo, y después detener y destruirlo,) ni equipo suficiente ni endurecido para resistir un ataque blindado. El tiempo de vida promedio en batalla de un helicóptero bajó hasta 21 minutos (1 misión) y la de un tanque a 7 minutos. Esto impulsó el desarrollo de armas nucleares tácticas que permitiesen la defensa, sin dañar a la población innecesariamente. Las armas tácticas y la voluntad de la OTAN de usarlas previnieron el esperado ataque soviético por el Fulda Gap.
Como puedes ver, Jorge, las armas nucleares no son todas diseñadas para matar civiles. Si la situación con Irán no mejora, verás el uso de armas tácticas para la destrucción de las plantas de procesamiento de explosivos nucleares. Se usarán solamente porque los iraní han enterrado y reforzado las plantas de tal manera que no hay armas convencionales para dañarlas, o destruirlas. Las fuerzas armadas de la OTAN dependen fuertemente en el arsenal nuclear puesto que los ejércitos son inferiores en número y equipamiento. En otras palabras: Dadle gracias a Dios que tenéis esas armas, y quiénes hablan de "eliminarlas" solo hablan, pero de hacer… no harán nada. Ni los europeos están suficientemente dementes como para suicidarse de esa manera.
Publicado por: Azpeitio | 10/02/2010 21:40:31
¡Qué raro que Lluís cite a los dos periódicos más izquierdistas remachados, desacreditados y en bancarrota de USA! ¡Buena, Lluís, a la carga mi valiente!
Ya va siendo tiempo que Europa se una verdaderamente. Para esto se necesita que se desarme, finalmente pierda todo deseo de ser libre, y se rinda a los hunos esteparios, sus Amos Verdaderos. Ya veo al Putin como Premier del Kremlin Europeo.
Por cierto, ¿alguien me puede explicar la diferencia entre el Socialismo de Mercado y el Fascismo? Porque económicamente son exactamente lo mismo, y lo tengo de buena fuente: Mein Kampf, A. Hitler. Y ya que estamos en esas, ¿quién me explica la diferencia entre Nazismo y Comunismo? Según Hitler son la misma cosa salvo el alcance global. Ah, y por cierto, Adolfito era Católico Apostólico y Romano. Hasta hizo el Camino a Santiago. Buenas combinaciones las de la historia.
Publicado por: Azpeitio | 10/02/2010 21:56:36
Adolfito sería lo que fuese, pero fuera de Austria y Alemania sólo viajó con el fusil a cuestas. El del Camino de Santiago debió ser otro.
Publicado por: Hien | 10/02/2010 22:55:57
Quizás sea Alemania la que desvele el secreto que nadie en Iberoamérica se atrevería a revelar y eso que los principales perjudicados hemos sido nosotros.
Lu
La Paradoja de Banach-Tarski (Cap. 3)
(Para ver los sucesivos capítulos de esta saga haga clic sobre la etiqueta Banach-Tarski.)
Abracadabra
En este capítulo veremos cómo sacar un conejo de una galera. O, mejor dicho, cómo sacar un segmento de un cuadrado. El problema que vamos a considerar es el siguiente:
Dividir un cuadrado de tal manera que con las partes resultantes se pueda ensamblar un cuadrado igual al original y además, aparte, un segmento.
Decíamos en el capítulo anterior que los problemas de "cortar y pegar" pueden analizarse desde dos puntos de vista: un punto de vista concreto o un punto de vista abstracto. El problema que estamos aquí considerando sólo puede entenderse en forma abstracta ya que (como también vimos antes) no existe objeto físico alguno que tenga las propiedades de un segmento matemático.
Procedamos a resolver el problema. La figura siguiente ilustra la idea de su solución:
En el cuadrado que aparece en la figura hemos destacado, en color rojo, varios segmentos.
1. El primer segmento conecta los puntos medios de dos lados opuestos del cuadrado.
2. El siguiente segmento rojo (a la derecha del primero) conecta dos puntos que marcan la cuarta parte de la longitud de esos mismos lados del cuadrado.
3. El siguiente segmento conecta puntos que marcan la octava parte de la longitud de esos mismos lados.
...Y así sucesivamente.
Obtenemos de esta forma una cantidad infinita de segmentos, cada uno de ellos más cercano que el anterior al lado del cuadrado que está a la derecha (aunque ninguno de los segmentos llega a coincidir con ese lado). Es interesante notar que el dibujo es, en realidad, una representación sumamente imperfecta de un proceso matemático abstracto irreproducible en la realidad física.
Definamos a continuación cuáles son las "partes" en que el cuadrado quedará dividido. Cada uno de los segmentos "rojos" es en sí mismo una de esas partes. Una última parte está formada, simplemente, por todos aquellos puntos del cuadrado que no pertenecen a alguno de los segmentos "rojos".
Tenemos entonces una cantidad infinita de partes. Podría objetarse que la última parte que definimos es disconexa, ya que claramente está formada por sectores separadas unos de otros. Pues bien, en la interpretación abstracta una "parte" es simplemente un conjunto de puntos de la figura original y se admite como posible que sea disconexa. (En la interpretación concreta, en cambio, se sobreentiende que todas las partes son conexas.)
"Ensamblar" las partes consiste en aplicarles rotaciones, traslaciones y simetrías. En este caso procedemos así:
1. Trasladamos el primer segmento rojo hacia la izquierda una distancia suficiente como para que quede fuera del cuadrado (por ejemplo, lo podemos trasladar una distancia igual a la longitud del lado del cuadrado).
2. Al mismo tiempo trasladamos el segundo segmento rojo de modo que ocupe la posición del primero. Y al tercero, de modo que ocupe la posición del segundo. Y al cuarto, de modo que ocupe la posición del tercero. Y así sucesivamente. (Nótese que, dado que no hay un "último segmento", todos los "huecos" del cuadrado se rellenan. Nótese también la similitud con la llamada Paradoja del Hotel de Hilbert.)
3. A los demás puntos no se les aplica movimiento alguno.
El resultado de estos movimientos es, como pedía el problema, un cuadrado igual al original y, aparte, un segmento.
Más allá de resolverlo ¿qué podemos aprender de este problema? Por un lado, tenemos aquí una situación en la que "aparece algo de la nada": teníamos un cuadrado, cortamos y pegamos, y pasamos a tener un cuadrado igual al original y además un segmento. Vemos aquí un primer atisbo del fenómeno Banach-Tarski, en el que tenemos una esfera y, tras cortar y pegar, aparece de la nada una segunda esfera.
Otro punto interesante, quizás aún más importante que el anterior, es éste: dijimos que al dividir una figura en partes, éstas no necesariamente tienen que ser conexas. ¿Podríamos haber considerado a todos los segmentos rojos, en conjunto, como una sola "parte"? La respuesta es que no, pero ¿por qué? ¿Qué es lo que hace que un conjunto de puntos pueda ser considerado, o no, una "parte" de la figura?
La respuesta está en los movimientos. Una "parte" está formada por puntos a los que se les aplican simultáneamente los mismos movimientos (rotaciones, traslaciones, simetrías).
Observemos que, en el problema, todos los puntos que no están en los segmentos rojos se quedan quietos en su lugar (si se quiere, se les aplica la traslación nula) y por eso pueden formar todos ellos una única parte del cuadrado.
Si todos los segmentos rojos se hubieran movido una misma distancia hacia la izquierda, entonces habrían podido formar todos ellos juntos una misma "parte" del cuadrado (y el cuadrado habría quedado así dividido en solamente dos partes). Pero el primer segmento se mueve una cierta distancia hacia la izquierda, el segundo se mueve una distancia menor, el tercero se mueve una distancia aún menor, y así sucesivamente. De modo que cada segmento debe ser considerado como una parte diferente.
En el próximo capítulo analizaremos una variante de este mismo problema, que nos mostrará otros aspectos de los problemas abstractos de "cortar y pegar".
(Continuará...)
Abracadabra
En este capítulo veremos cómo sacar un conejo de una galera. O, mejor dicho, cómo sacar un segmento de un cuadrado. El problema que vamos a considerar es el siguiente:
Dividir un cuadrado de tal manera que con las partes resultantes se pueda ensamblar un cuadrado igual al original y además, aparte, un segmento.
Decíamos en el capítulo anterior que los problemas de "cortar y pegar" pueden analizarse desde dos puntos de vista: un punto de vista concreto o un punto de vista abstracto. El problema que estamos aquí considerando sólo puede entenderse en forma abstracta ya que (como también vimos antes) no existe objeto físico alguno que tenga las propiedades de un segmento matemático.
Procedamos a resolver el problema. La figura siguiente ilustra la idea de su solución:
En el cuadrado que aparece en la figura hemos destacado, en color rojo, varios segmentos.1. El primer segmento conecta los puntos medios de dos lados opuestos del cuadrado.
2. El siguiente segmento rojo (a la derecha del primero) conecta dos puntos que marcan la cuarta parte de la longitud de esos mismos lados del cuadrado.
3. El siguiente segmento conecta puntos que marcan la octava parte de la longitud de esos mismos lados.
...Y así sucesivamente.
Obtenemos de esta forma una cantidad infinita de segmentos, cada uno de ellos más cercano que el anterior al lado del cuadrado que está a la derecha (aunque ninguno de los segmentos llega a coincidir con ese lado). Es interesante notar que el dibujo es, en realidad, una representación sumamente imperfecta de un proceso matemático abstracto irreproducible en la realidad física.
Definamos a continuación cuáles son las "partes" en que el cuadrado quedará dividido. Cada uno de los segmentos "rojos" es en sí mismo una de esas partes. Una última parte está formada, simplemente, por todos aquellos puntos del cuadrado que no pertenecen a alguno de los segmentos "rojos".
Tenemos entonces una cantidad infinita de partes. Podría objetarse que la última parte que definimos es disconexa, ya que claramente está formada por sectores separadas unos de otros. Pues bien, en la interpretación abstracta una "parte" es simplemente un conjunto de puntos de la figura original y se admite como posible que sea disconexa. (En la interpretación concreta, en cambio, se sobreentiende que todas las partes son conexas.)
"Ensamblar" las partes consiste en aplicarles rotaciones, traslaciones y simetrías. En este caso procedemos así:
1. Trasladamos el primer segmento rojo hacia la izquierda una distancia suficiente como para que quede fuera del cuadrado (por ejemplo, lo podemos trasladar una distancia igual a la longitud del lado del cuadrado).
2. Al mismo tiempo trasladamos el segundo segmento rojo de modo que ocupe la posición del primero. Y al tercero, de modo que ocupe la posición del segundo. Y al cuarto, de modo que ocupe la posición del tercero. Y así sucesivamente. (Nótese que, dado que no hay un "último segmento", todos los "huecos" del cuadrado se rellenan. Nótese también la similitud con la llamada Paradoja del Hotel de Hilbert.)
3. A los demás puntos no se les aplica movimiento alguno.
El resultado de estos movimientos es, como pedía el problema, un cuadrado igual al original y, aparte, un segmento.
Más allá de resolverlo ¿qué podemos aprender de este problema? Por un lado, tenemos aquí una situación en la que "aparece algo de la nada": teníamos un cuadrado, cortamos y pegamos, y pasamos a tener un cuadrado igual al original y además un segmento. Vemos aquí un primer atisbo del fenómeno Banach-Tarski, en el que tenemos una esfera y, tras cortar y pegar, aparece de la nada una segunda esfera.
Otro punto interesante, quizás aún más importante que el anterior, es éste: dijimos que al dividir una figura en partes, éstas no necesariamente tienen que ser conexas. ¿Podríamos haber considerado a todos los segmentos rojos, en conjunto, como una sola "parte"? La respuesta es que no, pero ¿por qué? ¿Qué es lo que hace que un conjunto de puntos pueda ser considerado, o no, una "parte" de la figura?
La respuesta está en los movimientos. Una "parte" está formada por puntos a los que se les aplican simultáneamente los mismos movimientos (rotaciones, traslaciones, simetrías).
Observemos que, en el problema, todos los puntos que no están en los segmentos rojos se quedan quietos en su lugar (si se quiere, se les aplica la traslación nula) y por eso pueden formar todos ellos una única parte del cuadrado.
Si todos los segmentos rojos se hubieran movido una misma distancia hacia la izquierda, entonces habrían podido formar todos ellos juntos una misma "parte" del cuadrado (y el cuadrado habría quedado así dividido en solamente dos partes). Pero el primer segmento se mueve una cierta distancia hacia la izquierda, el segundo se mueve una distancia menor, el tercero se mueve una distancia aún menor, y así sucesivamente. De modo que cada segmento debe ser considerado como una parte diferente.
En el próximo capítulo analizaremos una variante de este mismo problema, que nos mostrará otros aspectos de los problemas abstractos de "cortar y pegar".
(Continuará...)
Próximamente en este blog!!!!
La cuarta temporada de Prince Michael Pelao III (aplazada temporalmente al desplazarse a una casa rural en Chinchón), nuevos artículos del Pelado desde la Argentina, pero también muchas otras cosas.
¿Quizá un nuevo personaje que nos describa su vida más allá de Despeñaperros, por tierras andaluzas? ¿Quizá el fichaje de Mr. Funkadelic, para darnos unas lecciones sobre música soul, R&B y Funky jamonera? ¿Regresará el Pitxi con renovadas fuerzas? ¿Abriremos por fin sucursal en Panamá?
La respuesta a estas y otras preguntas próximamente en este blog!!!!
Latte que Latte... Corazoncito...
Se acerca el día de san Valentín, también conocido como el Día de los Enamorados...¿ No te resulta a veces que todo lo que se dice sobre el amor es demasiado romántico? Como que en la realidad las cosas no son tan color de rosa. Y sí, no está mal pensar eso, como tú miles de personas que verdaderamente están dispuestas a amar y a respetar a otra persona con compromiso y dedicación se han dado cuenta que el amor no es como en las caricaturas donde corazones rosados flotan por los aires.
El amor es mucho más que la pasión inicial, que el deseo de encontrarse con el otro y de compartir buenos momentos, el amor es comprometido en las buenas y verdaderamente en las malas. Como decía mi papá no es difícil encontrar amigos en las fiestas, pero qué difícil es encontrar amigos cuando te tienes que mudar o limpiar la casa o hacer trabajo realmente duro. Así mismo deben ser todas las relaciones humanas, el verdadero amor se queda se arremanga la camisa y mete las manos en el fango para trabajar sin miedo en lo que sea, durante el tiempo necesario. Y no solamente eso, también se queda para lavar la camisa arreglando lo que está mal, sacarle con esfuerzo las manchas del rencor y renovarla para lucir con orgullo lo que tanto trabajo le ha costado.
Amar es trabajo de valientes en toooodo el sentido de la palabra. Especialmente cuando se trata de amarnos a nosotros mismos. Así que para esos ratitos en que estás depre, piensa en qué te gustaría cambiar de ti en cómo podrías ser una persona más afectiva. Busca un libro que te ayude en esa tarea. Dile al amor que te tienes a ti mismo que se arremangue la camisa y se ponen juntos en el "manos a la obra para ser una mejor persona" mientras disfrutas un cafecito...
Latte Macchiato con Crema Irlandesa (Baileys)
Ingredientes (para 2 personas)
* Café Espresso
* 2 cdas de leche condensada
* Leche espumada
* 2 cdas de licor Baileys
¿Cómo lo hacemos?
* Mezcle la leche condensada con la crema irlandesa en un vaso de tragos
* Vierta la mezcla en un vaso para latte macchiato
* Agregue como mínimo 2 tercios de leche espumada
* Eche espresso directamente en el vaso
¿Padre o Madre Soltero o Criando solo? Esto te interesará...
Incluímos esta nota en El Cafecito de Paulinas para todos esos padres y madres solteros o que están criando solos. Quizás todos los demás nos imaginamos que eso "hoy es tan normal" que no nos pone a pensar en todos los escollos que representan para estos padres y madres una cosa tan sencilla como un catarro o bien más simple aún el cansancio diario. En casa cuando ellos están solos con sus hijos no hay quien tome su lugar para atender a los chicos o dividirse las tareas del hogar en lo que el otro se encarga de los chicos de sus tareas y de otras mil cosas más.
En Puerto Rico la corporación Camina con Jesús publica una revista dedicada a este sector. En ella encontrarás temas relacionados con espiritualidad, valores y otros como temas legales que pueden ser de orientación inicial a los procesos legales de custodia, salud y hasta finanzas.
¿Interesado en encontrar esta revista? Contácta con sus editores en http://www.caminaconjesus.com/
O búscala pronto en Paulinas
Calle Arzuaga 164 y San Francisco Plaza Ave. De Diego... Río Piedras
787.765.4390
En Puerto Rico la corporación Camina con Jesús publica una revista dedicada a este sector. En ella encontrarás temas relacionados con espiritualidad, valores y otros como temas legales que pueden ser de orientación inicial a los procesos legales de custodia, salud y hasta finanzas.
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Un problema de probabilidades
(Esta entrada es la participación de El Topo Lógico en el Carnaval de Matemáticas.)
Imaginemos el siguiente juego de azar: se le presentan a un jugador n cajas cerradas, cada una de las cuales contiene una bola marcada con un número entre 1 a n (cajas diferentes contienen números diferentes). Las cajas son perfectamente iguales y es imposible determinar por su aspecto el contenido de cada una.
El jugador anota en la tapa de cada caja un número de 1 a n. No es obligatorio que anote números diferentes. Puede, por ejemplo, anotar un 1 en todas las cajas.
Una vez hechas las anotaciones, se destapan las cajas. El jugador se anota entonces un punto por cada caja en la que el número anotado en la tapa coincida con el número de la bola contenida.
Por ejemplo, si el jugador anota un 1 en todas las cajas entonces ganará exactamente un punto.
Preguntas:
1) Si n es par y el jugador anota un 1 en la mitad de las cajas y un 2 en la otra mitad ¿cuál es su ganancia esperada?
2) ¿Cuál es la estrategia óptima para el jugador? Es decir ¿cuál es la estrategia para la cual la ganancia esperada del jugador es la máxima posible?
Imaginemos el siguiente juego de azar: se le presentan a un jugador n cajas cerradas, cada una de las cuales contiene una bola marcada con un número entre 1 a n (cajas diferentes contienen números diferentes). Las cajas son perfectamente iguales y es imposible determinar por su aspecto el contenido de cada una.
El jugador anota en la tapa de cada caja un número de 1 a n. No es obligatorio que anote números diferentes. Puede, por ejemplo, anotar un 1 en todas las cajas.
Una vez hechas las anotaciones, se destapan las cajas. El jugador se anota entonces un punto por cada caja en la que el número anotado en la tapa coincida con el número de la bola contenida.
Por ejemplo, si el jugador anota un 1 en todas las cajas entonces ganará exactamente un punto.
Preguntas:
1) Si n es par y el jugador anota un 1 en la mitad de las cajas y un 2 en la otra mitad ¿cuál es su ganancia esperada?
2) ¿Cuál es la estrategia óptima para el jugador? Es decir ¿cuál es la estrategia para la cual la ganancia esperada del jugador es la máxima posible?
Paradojas del infinito (II)
Tenemos, por un lado, una recta infinita. Por otro lado tenemos una cantidad infinita de pequeños segmentos. Uno de estos segmentos mide 1/2 cm, otro mide 1/4 cm, otro 1/8 cm. y así sucesivamente. Aunque la cantidad de segmentos es infinita, la suma total de sus longitudes es apenas 1 cm.
Si distribuyéramos los segmentos a lo largo de la recta, la longitud total que cubrirían sería de apenas 1 cm. (o menos todavía, si los segmentos se superponen). La intuición nos dice que, no importa cómo coloquemos los segmentos, inevitablemente quedarán grandes porciones de la recta sin cubrir. Después de todo, estaríamos cubriendo apenas 1 cm. de una recta de longitud infinita.
Imaginemos que hemos colocado, de alguna forma, los infinitos segmentos sobre la recta. Tomemos ahora otro segmento de, digamos, 1 mm. de longitud. Éste será nuestro segmento de prueba.
Si al colocar el segmento de prueba sobre la recta, éste toca a alguno de los infinitos segmentos que colocamos primero, entonces sonará una alarma. Por "tocar" entendemos que haya una parte en común (que no se reduzca a un solo punto) entre alguno de los segmentos iniciales y el segmento de prueba.
La intuición nos dice que, no importa cómo hayamos colocado los segmentos iniciales (que abarcan solamente 1 cm. en una recta de longitud infinita), habrá muchas formas de colocar el segmento de prueba sin que suene la alarma.
Sin embargo... existe una manera de ubicar los segmentos iniciales de tal modo que, no importa cómo se coloque el segmento de prueba, la alarma siempre suene. Es decir, con segmentos que suman en total apenas 1 cm. de longitud es posible cubrir casi totalmente una recta de longitud infinita. Más exactamente, es posible cubrirla de tal modo que no haya en ella ni siquiera una parte de 1 mm. de longitud que quede sin ser tocada por al menos un segmento. Más aún, lo mismo sucedería si en lugar de un segmento de prueba de 1 mm. de longitud hubiéramos elegido uno de 0,000000001 mm., o cualquier otra longitud aún menor (siempre que no fuera cero).
El modo de lograr este prodigo es el siguiente. Es sabido que el conjunto de los números racionales es numerable, es decir, es posible establecer una correspondencia uno-a-uno entre el conjunto de los números racionales y el conjunto formado por 0, 1, 2, 3, 4,... Fijemos una tal correspondencia y llamemos q0 al número racional que se corresponde con el 0, q1 al que se corresponde con el 1, y así sucesivamente. (Es interesante observar que esta correspondencia puede definirse explícitamente, por lo que podríamos decir concretamente quién es q0, quién es q1, etc.)
Transformemos a la recta que teníamos al principio en una recta "numérica". Para ello marquemos dos puntos a 1 cm. de distancia entre sí, a uno de ellos asignémosle el número 0 y al otro, el número 1. De la manera usual quedan asignados todos los números racionales.
Pasemos ahora a ubicar los segmentos:
El segmento de longitud 1/2 cm. debe ser colocado cubriendo el intervalo [q0 - 1/4, q0 + 1/4].
El de longitud 1/4 cm. debe ser colocado cubriendo el intervalo [q1 - 1/8, q1 + 1/8].
El de longitud 1/8 cm. debe ser colocado cubriendo el intervalo [q2 - 1/16, q2 + 1/16].
Y así sucesivamente.
No es difícil probar que esta distribución cumple las condiciones indicadas antes: la suma total de los segmentos es 1 cm., pero no hay ninguna parte de longitud 1 mm. (o menor) que quede sin ser tocada por al menos un segmento. Para demostrar esto último, imaginemos que colocamos nuestro segmento de prueba de modo que coincida con el intervalo [a, b]. Ese intervalo (no importa su longitud, siempre que no sea nula) contiene al menos un número racional qn tal que b > qn > a. Por lo tanto, el segmento de prueba se toca con el segmento centrado en qn.
Si distribuyéramos los segmentos a lo largo de la recta, la longitud total que cubrirían sería de apenas 1 cm. (o menos todavía, si los segmentos se superponen). La intuición nos dice que, no importa cómo coloquemos los segmentos, inevitablemente quedarán grandes porciones de la recta sin cubrir. Después de todo, estaríamos cubriendo apenas 1 cm. de una recta de longitud infinita.
Imaginemos que hemos colocado, de alguna forma, los infinitos segmentos sobre la recta. Tomemos ahora otro segmento de, digamos, 1 mm. de longitud. Éste será nuestro segmento de prueba.
Si al colocar el segmento de prueba sobre la recta, éste toca a alguno de los infinitos segmentos que colocamos primero, entonces sonará una alarma. Por "tocar" entendemos que haya una parte en común (que no se reduzca a un solo punto) entre alguno de los segmentos iniciales y el segmento de prueba.
La intuición nos dice que, no importa cómo hayamos colocado los segmentos iniciales (que abarcan solamente 1 cm. en una recta de longitud infinita), habrá muchas formas de colocar el segmento de prueba sin que suene la alarma.
Sin embargo... existe una manera de ubicar los segmentos iniciales de tal modo que, no importa cómo se coloque el segmento de prueba, la alarma siempre suene. Es decir, con segmentos que suman en total apenas 1 cm. de longitud es posible cubrir casi totalmente una recta de longitud infinita. Más exactamente, es posible cubrirla de tal modo que no haya en ella ni siquiera una parte de 1 mm. de longitud que quede sin ser tocada por al menos un segmento. Más aún, lo mismo sucedería si en lugar de un segmento de prueba de 1 mm. de longitud hubiéramos elegido uno de 0,000000001 mm., o cualquier otra longitud aún menor (siempre que no fuera cero).
El modo de lograr este prodigo es el siguiente. Es sabido que el conjunto de los números racionales es numerable, es decir, es posible establecer una correspondencia uno-a-uno entre el conjunto de los números racionales y el conjunto formado por 0, 1, 2, 3, 4,... Fijemos una tal correspondencia y llamemos q0 al número racional que se corresponde con el 0, q1 al que se corresponde con el 1, y así sucesivamente. (Es interesante observar que esta correspondencia puede definirse explícitamente, por lo que podríamos decir concretamente quién es q0, quién es q1, etc.)
Transformemos a la recta que teníamos al principio en una recta "numérica". Para ello marquemos dos puntos a 1 cm. de distancia entre sí, a uno de ellos asignémosle el número 0 y al otro, el número 1. De la manera usual quedan asignados todos los números racionales.
Pasemos ahora a ubicar los segmentos:
El segmento de longitud 1/2 cm. debe ser colocado cubriendo el intervalo [q0 - 1/4, q0 + 1/4].
El de longitud 1/4 cm. debe ser colocado cubriendo el intervalo [q1 - 1/8, q1 + 1/8].
El de longitud 1/8 cm. debe ser colocado cubriendo el intervalo [q2 - 1/16, q2 + 1/16].
Y así sucesivamente.
No es difícil probar que esta distribución cumple las condiciones indicadas antes: la suma total de los segmentos es 1 cm., pero no hay ninguna parte de longitud 1 mm. (o menor) que quede sin ser tocada por al menos un segmento. Para demostrar esto último, imaginemos que colocamos nuestro segmento de prueba de modo que coincida con el intervalo [a, b]. Ese intervalo (no importa su longitud, siempre que no sea nula) contiene al menos un número racional qn tal que b > qn > a. Por lo tanto, el segmento de prueba se toca con el segmento centrado en qn.