Abracadabra
En este capítulo veremos cómo sacar un conejo de una galera. O, mejor dicho, cómo sacar un segmento de un cuadrado. El problema que vamos a considerar es el siguiente:
Dividir un cuadrado de tal manera que con las partes resultantes se pueda ensamblar un cuadrado igual al original y además, aparte, un segmento.
Decíamos en el capítulo anterior que los problemas de "cortar y pegar" pueden analizarse desde dos puntos de vista: un punto de vista concreto o un punto de vista abstracto. El problema que estamos aquí considerando sólo puede entenderse en forma abstracta ya que (como también vimos antes) no existe objeto físico alguno que tenga las propiedades de un segmento matemático.
Procedamos a resolver el problema. La figura siguiente ilustra la idea de su solución:
En el cuadrado que aparece en la figura hemos destacado, en color rojo, varios segmentos.1. El primer segmento conecta los puntos medios de dos lados opuestos del cuadrado.
2. El siguiente segmento rojo (a la derecha del primero) conecta dos puntos que marcan la cuarta parte de la longitud de esos mismos lados del cuadrado.
3. El siguiente segmento conecta puntos que marcan la octava parte de la longitud de esos mismos lados.
...Y así sucesivamente.
Obtenemos de esta forma una cantidad infinita de segmentos, cada uno de ellos más cercano que el anterior al lado del cuadrado que está a la derecha (aunque ninguno de los segmentos llega a coincidir con ese lado). Es interesante notar que el dibujo es, en realidad, una representación sumamente imperfecta de un proceso matemático abstracto irreproducible en la realidad física.
Definamos a continuación cuáles son las "partes" en que el cuadrado quedará dividido. Cada uno de los segmentos "rojos" es en sí mismo una de esas partes. Una última parte está formada, simplemente, por todos aquellos puntos del cuadrado que no pertenecen a alguno de los segmentos "rojos".
Tenemos entonces una cantidad infinita de partes. Podría objetarse que la última parte que definimos es disconexa, ya que claramente está formada por sectores separadas unos de otros. Pues bien, en la interpretación abstracta una "parte" es simplemente un conjunto de puntos de la figura original y se admite como posible que sea disconexa. (En la interpretación concreta, en cambio, se sobreentiende que todas las partes son conexas.)
"Ensamblar" las partes consiste en aplicarles rotaciones, traslaciones y simetrías. En este caso procedemos así:
1. Trasladamos el primer segmento rojo hacia la izquierda una distancia suficiente como para que quede fuera del cuadrado (por ejemplo, lo podemos trasladar una distancia igual a la longitud del lado del cuadrado).
2. Al mismo tiempo trasladamos el segundo segmento rojo de modo que ocupe la posición del primero. Y al tercero, de modo que ocupe la posición del segundo. Y al cuarto, de modo que ocupe la posición del tercero. Y así sucesivamente. (Nótese que, dado que no hay un "último segmento", todos los "huecos" del cuadrado se rellenan. Nótese también la similitud con la llamada Paradoja del Hotel de Hilbert.)
3. A los demás puntos no se les aplica movimiento alguno.
El resultado de estos movimientos es, como pedía el problema, un cuadrado igual al original y, aparte, un segmento.
Más allá de resolverlo ¿qué podemos aprender de este problema? Por un lado, tenemos aquí una situación en la que "aparece algo de la nada": teníamos un cuadrado, cortamos y pegamos, y pasamos a tener un cuadrado igual al original y además un segmento. Vemos aquí un primer atisbo del fenómeno Banach-Tarski, en el que tenemos una esfera y, tras cortar y pegar, aparece de la nada una segunda esfera.
Otro punto interesante, quizás aún más importante que el anterior, es éste: dijimos que al dividir una figura en partes, éstas no necesariamente tienen que ser conexas. ¿Podríamos haber considerado a todos los segmentos rojos, en conjunto, como una sola "parte"? La respuesta es que no, pero ¿por qué? ¿Qué es lo que hace que un conjunto de puntos pueda ser considerado, o no, una "parte" de la figura?
La respuesta está en los movimientos. Una "parte" está formada por puntos a los que se les aplican simultáneamente los mismos movimientos (rotaciones, traslaciones, simetrías).
Observemos que, en el problema, todos los puntos que no están en los segmentos rojos se quedan quietos en su lugar (si se quiere, se les aplica la traslación nula) y por eso pueden formar todos ellos una única parte del cuadrado.
Si todos los segmentos rojos se hubieran movido una misma distancia hacia la izquierda, entonces habrían podido formar todos ellos juntos una misma "parte" del cuadrado (y el cuadrado habría quedado así dividido en solamente dos partes). Pero el primer segmento se mueve una cierta distancia hacia la izquierda, el segundo se mueve una distancia menor, el tercero se mueve una distancia aún menor, y así sucesivamente. De modo que cada segmento debe ser considerado como una parte diferente.
En el próximo capítulo analizaremos una variante de este mismo problema, que nos mostrará otros aspectos de los problemas abstractos de "cortar y pegar".
(Continuará...)
En la interpretación abstracta vemos al cuadrado como un conjunto de puntos del plano. Dividir el cuadrado en partes equivale, en este caso, a establecer aquello que en la Teoría de Conjuntos se llama una partición del conjunto. Es decir, dividimos el cuadrado en subconjuntos de tal modo que cada punto pertenezca a uno y sólo uno de los subconjuntos de la partición.
